Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:

(a) 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = 2 e y ' 0 = - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Nós vamos encontrar a solução geral y ( x ) resolvendo a equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Assim, quando descobrimos as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar, encontramos a solução y ( x ) de acordo com as condições:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ), nossa solução terá a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

- Se tivermos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 = r ), nossa solução é do tipo:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

- E se temos raízes complexas ( r = α ± β i ), nossa solução terá a forma:

y x = e α x ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ ( β x ) )

Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e substituir os valores dados no PVI para encontrar as constante c 1 e c 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:

9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0

Como a = 9 , b = - 1 2 e c = 4 , nossa equação auxiliar será:

a r 2 + b r + c = 0

9 r 2 - 12 r + 4 = 0

Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - ( - 1 2 ) ± 1 44 - 4 ( 9 ) ( 4 ) 2 ( 9 ) = 1 2 ± 0 1 8

Logo, nossas raízes são:

r 1 = 1 2 + 0 1 8 = 12 1 8 = 2 3

r 2 = 1 2 - 0 1 8 = 2 3

Passo 3

Repare que nossas raízes são reais e iguais, então como vimos lá no passo 1 , nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo r 1 = r 2 = r = 2 3 , temos:

y x = c 1 e 2 x 3 + c 2 x e 2 x 3

Passo 4

Agora vamos descobrir o valor das constantes c 1 e c 2 usando as condições iniciais y 0 = 2 e y ' 0 = - 1 . Então, substituindo x = 0 e y = 2 na solução geral, temos:

2 = c 1 e 2 3 ( 0 ) + c 2 ∙ 0 ∙ e 2 3 ( 0 )

2 = c 1 e 0 + 0

Logo,

c 1 = 2

Agora vamos derivar a solução geral para obter:

y ' = 2 3 c 1 e 2 x 3 + c 2 e 2 x 3 + 2 3 c 2 x e 2 x 3

Então substituindo x = 0 e y ' = - 1 , temos:

2 3 c 1 e 0 + c 2 e 0 + 2 3 c 2 0 e 0 = - 1

2 3 c 1 + c 2 = - 1

Mas c 1 = 2 , logo:

2 3 2 + c 2 = - 1

c 2 = - 1 - 4 3 → c 2 = - 7 3

Portanto, nossa solução será:

y x = c 1 e 2 x 3 + c 2 x e 2 x 3

y x = 2 e 2 x 3 - 7 3 x e 2 x 3

Essa é a solução geral da nossa EDO.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = 2 e 2 x 3 - 7 3 x e 2 x 3

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Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2