Considere a função y t = - e - 2 t ln ⁡ t , t > 0 . Qual das seguintes equações é satisfeita pela função y ?

(a) y ' ' + 3 y ' + 2 y = e - 2 t t 2 - e - 2 t t

(b) y ' ' + 4 y ' + 4 y = - e - 2 t t 2

(c) y ' ' + y ' - 2 y = e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

(d) y ' ' + 7 y ' + 10 y = - e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

(e) y ' ' + 5 y ' + 6 y = e - 2 t t 2 + e - 2 t t

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos que descobrir qual EDO de segunda ordem é satisfeita pela solução y t = - e - 2 t ln ⁡ t .

Então você pode estar pensando “eu vou ter que obter a solução de todas essas EDO’s para ver qual solução é igual a y t ??” 👀

Seria uma ótima maneira de praticar o assunto, mas eu tenho uma ideia mais fácil. A gente deriva y t uma e duas vezes e substitui nas EDO’s, aquela que a igualdade for satisfeita, é nossa EDO!

O que você acha?? 😁

Bora lá!

Passo 2

Como nosso y t é dado por y t = - e - 2 t ln ⁡ t

Perceba que a função é formada pelo produto de duas funções f t = - e - 2 t e g t = ln ⁡ t .

Dessa forma a derivada de uma função produto é obtida pela regra do produto

y ' t = f ' t · g t + f t · g ' t

Ou seja

y ' t = d - e - 2 t d t ln ⁡ t + - e - 2 t d ln ⁡ t d t

Pela regra da cadeia a derivada de - e - 2 t é dada por

d - e - 2 t d t = - 2 - e - 2 t = 2 e - 2 t

Já a derivada de ln ⁡ t é dada por

d ln ⁡ t d t = 1 t

Substituindo esses resultados em y ' t

y ' t = 2 e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t t

Agora aplicamos a segunda derivada y ' ' t . Neste caso 2 e - 2 t ln ⁡ t é o produto de duas funções, então vamos aplicar a regra do produto novamente. Já e - 2 t t é a razão entre duas funções, então aplicamos a regra do quociente.

y ' ' t = d 2 e - 2 t ln ⁡ t d t - d e - 2 t t d t

d 2 e - 2 t ln ⁡ t d t = d 2 e - 2 t d t ln ⁡ t + 2 e - 2 t d ln ⁡ t d t

Pela regrada cadeia

d 2 e - 2 t d t = - 2 2 e - 2 t = - 4 e - 2 t

E como vimos anteriormente

d ln ⁡ t d t = 1 t

Logo a derivada de 2 e - 2 t ln ⁡ t é

d 2 e - 2 t ln ⁡ t d t = - 4 e - 2 t ln ⁡ t + 2 e - 2 t t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de e - 2 t t . Como dito anteriormente vamos aplicar a regra do quociente onde se h t = e - 2 t e p t = t

d h t p t d t = d h t d t · p t - h t · d p t d t p t 2

Ou seja

d e - 2 t t d t = d e - 2 t d t · t - e - 2 t · d t d t t 2

Pela regra da cadeia

d e - 2 t d t = - 2 e - 2 t

E a derivada de uma variável de ordem 1 é a constante que a multiplica, logo

d e - 2 t t d t = - 2 e - 2 t · t - e - 2 t · 1 t 2

d e - 2 t t d t = - 2 e - 2 t t - e - 2 t t 2

Juntando os resultados em y ' ' t

y ' ' t = - 4 e - 2 t ln ⁡ t + 2 e - 2 t t - - 2 e - 2 t t - e - 2 t t 2

y ' ' t = - 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2

Com isso, obtemos y t , y ' t e y ' ' t

y ' ' t = - 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 y ' t = 2 e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t t y t = - e - 2 t ln ⁡ t

Agora substituímos nas EDO’s e verificamos a igualdade. Entendeu?

Passo 4

Para a EDO do item (a)

y ' ' + 3 y ' + 2 y = e - 2 t t 2 - e - 2 t t

- 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 + 3 2 e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t t + 2 - e - 2 t ln ⁡ t = e - 2 t t 2 - e - 2 t t

- 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 + 6 e - 2 t ln ⁡ t - 3 e - 2 t t - 2 e - 2 t ln ⁡ t = e - 2 t t 2 - e - 2 t t

Simplificando a equação, temos

e - 2 t t 2 + e - 2 t t = e - 2 t t 2 - e - 2 t t

Foi quase, não é? Justo por causa de um sinal!

Vamos analisar a EDO (b)

- 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 + 4 2 e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t t + 4 - e - 2 t ln ⁡ t = - e - 2 t t 2

- 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 + 8 e - 2 t ln ⁡ t - 4 e - 2 t t - 4 e - 2 t ln ⁡ t = - e - 2 t t 2

Simplificando a equação

e - 2 t t 2 = - e - 2 t t 2

Novamente foi por pouco!

Vamos analisar a EDO do item (c)

y ' ' + y ' - 2 y = e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

- 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 + 2 e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t t - 2 - e - 2 t ln ⁡ t = e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

- 4 e - 2 t ln ⁡ t + 4 e - 2 t t + e - 2 t t 2 + 2 e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t t + 2 e - 2 t ln ⁡ t = e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

Simplificando a equação

e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t = e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

A igualdade foi satisfeita, não é?

Logo a alternativa correta é o item (c) já que sua EDO é satisfeita pela solução y t que foi nos dada.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

(c) y ' ' + y ' - 2 y = e - 2 t t 2 + 3 e - 2 t t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2