Se a equação diferencial de 2 ª ordem não tem o termo y , pode-se fazer a mudança de variável v = y ' e transformá-la em uma equação de 1 ª ordem na variável v .

Resolva:

t 2 y ' ' + 2 t y ' - 1 = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a EDO de segunda ordem t 2 y ' ' + 2 t y ' - 1 = 0 . E ele já nos deu a dica de utilizarmos a substituição v = y ' para transformá-la em uma EDO de primeira ordem.

Fazendo isso, nós temos v ' = y ' ' . Assim, substituímos na nossa EDO e reduzimos sua ordem para calcular a solução geral pelos métodos de resolução de EDO de 1 ª ordem.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo v = y ' e v ' = y ' ' na equação:

t 2 y ' ' + 2 t y ' - 1 = 0

t 2 v ' + 2 t v - 1 = 0

Dividindo todo mundo por t 2 , temos:

v ' + 2 t v = 1 t 2

Passo 3

Repare que agora nós temos uma EDO de primeira ordem linear, que é da forma:

v ' t + A t ∙ v t = B ( t )

Onde A t = 2 t e B t = 1 t 2 . Nesse tipo de EDO, a solução é sempre dada por:

v t = 1 I t ∫ I t ∙ B t d t + C  

De forma que C é uma constante de integração e I ( t ) é calculado pela expressão:

I t = e ∫ A t d t

Assim, substituindo os parâmetros da nossa equação, temos:

I t = e ∫ 2 t   d t = e 2 ln ⁡ t = e ln ⁡ t 2 = t 2

E substituindo na fórmula da solução geral:

v t = 1 t 2 ∫ I t ∙ B t d t + C

v t = 1 t 2 ∫ t 2 ∙ 1 t 2 d t + C = 1 t 2 ∫ 1 d t + C

Integrando, temos:

v t = 1 t 2 t + C 1

v ( t ) = 1 t + C 1 t 2

Passo 4

Lembra que definimos v t = y ' ( t ) no passo 1 ? Então, agora vamos voltar pra nossa variável original, fazendo:

y ' t = 1 t + C 1 t 2

Mas y ' t = d y d t . Assim, temos:

d y d t = 1 t + C 1 t 2

d y = 1 t + C 1 t 2 d t

Integrando de ambos os lados:

∫ d y = ∫ 1 t + C 1 t 2 d t

y ( t ) = ln ⁡ t - C 1 t + C 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ( t ) = ln ⁡ t - C 1 t + C 2

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