2 . Sejam y 1 x e y 2 x duas soluções da equação

y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0

Suponha que y 1 ' 0 = y 2 '   ( 0 ) e considere a função g x = y 1 x - y 2 x e 5 x .

Então, podemos afirmar que, para todo x , temos que

Escolha uma:

a . g ( x )   =   C x   -   5 , para alguma constante C .

b . g ( x )   =   C ( x   -   5 ) , para alguma constante C .

c . g ( x )   =   C ( 5 x   +   1 ) , para alguma constante   C .

d . g ( x )   =   C ( x   +   5 ) , para alguma constante C .

e . g ( x )   =   C ( 5 x   -   1 ) , para alguma constante C .

Passo 1

Nossa EDO se trata de uma EDO de segunda ordem homogênea então para resolver precisamos usar a equação característica, que será dada por:

r 2 + 10 r + 25 = 0

Com isso conseguiremos resolver bem esse exercício.

Passo 2

Usando bhaskara conseguiremos achar r , ou seja:

r = - 5

Sendo assim o resultado da nossa EDO é:

y x = C 1 e - 5 x + C 2 x e - 5 x

Onde y 1 = C 1 e - 5 x e y 2 = C 2 x e - 5 x

O enunciado nos diz que:

y 1 ' 0 = y 2 '   ( 0 )

Então vamos derivar ambos, substituir x por 0 e igualar.

Passo 3

Derivando:

y 1 ' x = - 5 C 1 e - 5 x   ⇒   y 1 ' 0 = - 5 C 1

y 2 ' x = C 2 e - 5 x - 5 C 2 x e - 5 x   ⇒   y 2 ' 0 = C 2

Igualando:

C 2 = - 5 C 1

Como vimos no enunciado:

g x = C 1 e - 5 x - ( - 5 C 1 ) x e - 5 x e 5 x = C 1 + 5 C 1 x e - 5 x e 5 x

= C 1 + 5 C 1 x = C 1 1 + 5 x                                                                                    

Resposta

c .     g x = C 1 1 + 5 x

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