Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:

(b) y ' ' - 2 y ' + y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Nós vamos encontrar a solução geral y ( x ) resolvendo a equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Assim, quando descobrimos as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar, encontramos a solução y ( x ) de acordo com as condições:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ), nossa solução terá a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

- Se tivermos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 = r ), nossa solução é do tipo:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

- E se temos raízes complexas ( r = α ± β i ), nossa solução terá a forma:

y x = e α x ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ ( β x ) )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:

y ' ' - 2 y ' + y = 0

Como a = 1 , b = - 2 e c = 1 , nossa equação auxiliar será:

a r 2 + b r + c = 0

r 2 - 2 r + 1 = 0

Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - ( - 2 ) ± 4 - 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = 2 ± 0 2

Logo, nossas raízes são:

r 1 = 2 + 0 2 = 1

r 2 = 2 - 0 2 = 1

Passo 3

Repare que nossas raízes são reais e iguais, então como vimos lá no passo 1 , nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo r 1 = r 2 = r = 1 , temos:

y x = c 1 e x + c 2 x e x

Essa é a solução geral da nossa EDO.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 x e x

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Calcule a e b: f ) i + 1 2 i - 1 2 = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial. 2 d 2 y d t 2 + 2 2 d y d t - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,y 0 = 1 ,y 1 = 2