Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma x t = e 2 t C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sin ⁡ 3 t , onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

a x ' ' + 6 x ' + 13 x = 0

b x ' ' - 6 x ' + 13 x = 0

c x ' ' + 4 x ' + 13 x = 0

d x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

e x ' ' - 5 x ' + 6 x = 0

f Não existe EDO com as propriedades requeridas.

Passo 1

Antes de mais nada vamos olhar as alternativas, elas nos indicam que a EDO é de segunda ordem com coeficientes constantes e homogênea

Nosso chute é uma EDO com essa cara aqui: x ' ' - S x ' + P = 0

Agora, porque usamos - S ao invés de S ?

Lembra qual é a solução geral ?

A gente precis montar uma equação do segundo grau da forma: r 2 - S r + P = 0

E resolver essa equação certo?

Então, escrevendo dessa forma o S é a soma das raízes da equação e o P   é o produto!!

Ta, e ai?E aí que a solução é da forma x 1 t = e t r 1 x 2 t = e t r 2

Por isso precisamos saber as raízes da equação

Agora temos um problema, se as raízes da equação são complexas, aparece um termo e i certo?

Então, se as raízes forem complexas, elas são da forma a + b i , a - b i

E a solução é da forma

x 1 t = e a t cos ⁡ b t x 2 t = e a t s e n ( b t )  

Passo 2

Vamos ajustar ao nosso caso, fazemos a = 2 , b = 3

Então as raízes são: r 1 = 2 + 3 i r 2 = 2 - 3 i

Passo 3

Agora vamos lembrar que S   é a soma das raízes e P   é o produto

Nossa equação característica é: r 2 - 4 r + 2 - 3 i 2 + 3 i = 0 r 2 - 4 r + 13 = 0

O que nos dá a EDO: x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

Então a correta é a letra d !

Resposta

Letra d

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Calcule a e b: f ) i + 1 2 i - 1 2 = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial. 2 d 2 y d t 2 + 2 2 d y d t - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,y 0 = 1 ,y 1 = 2