Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão 5 Múltipla Escolha

Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma x t = e 2 t C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sin ⁡ 3 t , onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

a x ' ' + 6 x ' + 13 x = 0

b x ' ' - 6 x ' + 13 x = 0

c x ' ' + 4 x ' + 13 x = 0

d x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

e x ' ' - 5 x ' + 6 x = 0

f Não existe EDO com as propriedades requeridas.

Passo 1

Antes de mais nada vamos olhar as alternativas, elas nos indicam que a EDO é de segunda ordem com coeficientes constantes e homogênea

Nosso chute é uma EDO com essa cara aqui: x ' ' - S x ' + P = 0

Agora, porque usamos - S ao invés de S ?

Lembra qual é a solução geral ?

A gente precis montar uma equação do segundo grau da forma: r 2 - S r + P = 0

E resolver essa equação certo?

Então, escrevendo dessa forma o S é a soma das raízes da equação e o P   é o produto!!

Ta, e ai?E aí que a solução é da forma x 1 t = e t r 1 x 2 t = e t r 2

Por isso precisamos saber as raízes da equação

Agora temos um problema, se as raízes da equação são complexas, aparece um termo e i certo?

Então, se as raízes forem complexas, elas são da forma a + b i , a - b i

E a solução é da forma

x 1 t = e a t cos ⁡ b t x 2 t = e a t s e n ( b t )  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ajustar ao nosso caso, fazemos a = 2 , b = 3

Então as raízes são: r 1 = 2 + 3 i r 2 = 2 - 3 i

Passo 3

Agora vamos lembrar que S   é a soma das raízes e P   é o produto

Nossa equação característica é: r 2 - 4 r + 2 - 3 i 2 + 3 i = 0 r 2 - 4 r + 13 = 0

O que nos dá a EDO: x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

Então a correta é a letra d !

Resposta

Letra d

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas