Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

c ) Mostre que se considerarmos a constante de separação - v 2 na equação:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

obtemos as equações:

d 2 Q d θ 2 + v 2 Q = 0 ,

r 2 d 2 R d r 2 + d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

Passo 1

Oiee galerinha, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0

Ela é bem feinha, mas usando que o volume V é separável em:

V r , θ , z = R r Q θ Z z

chegamos no item anterior que:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

A partir dessa equação precisamos mostrar que se a constante de separação é - v 2 , temos as seguintes equações:

d 2 Q d θ 2 + v 2 Q = 0 ,

r 2 d 2 R d r 2 + d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

A ideia aqui é entender o que é essa constante de separação. Como no item anterior chegamos numa igualdade entre funções de variáveis distintas, concluímos que essas funções são constantes.

A constante que se iguala a essas funções é justamente a constante de separação.

Sacaram? Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos partir da equação que encontramos no item anterior até chegar em uma igualdade entre funções que só se explica com ambas sendo iguais a uma constante de separação.

Temos que:

1 r R d d r r d R d r + 1 r 2 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2

Multiplicando ambos os lados por r 2 , vem que:

r R d d r r d R d r + 1 Q d 2 Q d θ 2 = - k 2 r 2

Daí, manipulando um pouco:

- r R d d r r d R d r + k 2 r 2 = 1 Q d 2 Q d θ 2

Olha que legal! O lado esquerdo depende apenas de r e o lado direito depende apenas de θ . Assim, como ambos são sempre iguais, essas relações precisam ser constantes. Ou seja:

- r R d d r r d R d r + k 2 r 2 = 1 Q d 2 Q d θ 2 = - v 2

Daí vem que:

1 Q d 2 Q d θ 2 = - v 2

∴ d 2 Q d θ 2 = - v 2 Q

Logo:

d 2 Q d θ 2 + v 2 Q = 0

que é justamente a primeira equação que queríamos chegar.

Passo 3

Por outro lado, temos:

- r R d d r r d R d r + k 2 r 2 = - v 2

Daí, multiplicando em ambos os lados por R :

r d d r r d R d r + k 2 r 2 R = v 2 R

Logo:

r d d r r d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

Resolvendo essas derivadas, temos:

d d r r d R d r = d R d r + r d 2 R d r 2

Substituindo:

r d d r r d R d r = r d R d r + r 2 d 2 R d r 2

Portanto, juntando tudo na equação:

r d R d r + r 2 d 2 R d r 2 + k 2 r 2 - v 2 R = 0

Que é justamente a outra equação que queríamos chegar!

Prontinho pessoal! É isso aí!

Muito obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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