Utilizando o método de redução de ordem, determine uma segunda solução de cada uma das seguintes equações:

(a) x y ' ' - y ' + 4 x 3 y = 0 ,     x > 0 ,     y 1 t = sin ⁡ ( x 2 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a EDO de segunda ordem usando o método de redução de ordem. Pra isso, ele já nos dá uma solução y 1 e nós temos que encontrar a segunda y 2 .

Então, vamos supor que nossa solução é da forma:

y x = v x y 1 ( x )

Em seguida, vamos derivar essa equação duas vezes e substituir na EDO. Assim, vamos encontrar o valor de v ( x ) e consequentemente a nossa solução y 2 ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo nossa solução:

y x = v x y 1 ( x )

Como y 1 x = sin ⁡ ( x 2 ) , temos:

y x = v x sin ⁡ ( x 2 )

Derivando essa equação, vamos obter:

y ' x = v ' sin ⁡ ( x 2 ) + 2 x cos ⁡ ( x 2 ) v

Agora vamos derivar mais uma vez:

y ' ' x = v ' ' sin ⁡ ( x 2 ) + 2 x cos ⁡ ( x 2 ) v ' + 2 cos ⁡ ( x 2 ) v - 4 x 2 sin ⁡ x 2 v + 2 x cos ⁡ x 2 v '

Passo 3

Beleza, temos y ( x ) , y ' ( x ) e y ' ' ( x ) , então vamos substituir na EDO:

x y ' ' - y ' + 4 x 3 y = 0

x sin ⁡ ( x 2 ) v ' ' + 4 x 2 cos ⁡ ( x 2 ) v ' + 2 x cos ⁡ ( x 2 ) v - 4 x 3 sin ⁡ x 2 v - v ' sin ⁡ x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 v + 4 x 3 sin ⁡ x 2 v = 0

Simplificando os termos semelhantes, obtemos:

x sin ⁡ ( x 2 ) v ' ' + 4 x 2 cos ⁡ ( x 2 ) v ' - sin ⁡ x 2 v ' = 0

Agora vamos tentar colocar tudo que tem v pra um lado e tudo que tem x pro outro:

x sin ⁡ x 2 v ' ' = - 4 x 2 cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 v '

v ' ' v ' = - 4 x 2 cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2 x sin ⁡ x 2

Simplificando:

d ln ⁡ v ' d x = - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 + 1 x

d ln ⁡ v ' = - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 + 1 x d x

Agora vamos integrar ambos os lados da equação.

∫ d ln ⁡ v ' = ∫ - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 + 1 x d x

A integral da derivada de uma função, então ∫ d ln ⁡ v ' = ln ⁡ ( v ' ) . Além disso, nós conhecemos a integral de 1 x , que é ln ⁡ x . Então, só a falta a gente descobrir a integral de - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 , vamos resolver ela separadamente.

Passo 4

Vamos começar a resolver a integral definindo:

u = sin ⁡ ( x 2 )

d u = 2 x cos ⁡ ( x 2 ) d x

Substituindo, vamos ter:

∫ - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 d x = - 2 ∫ d u u

Integrando:

= - 2 ln ⁡ u + ln ⁡ ( C 1 )

Como definimos u = sin ⁡ x 2 , temos:

= - 2 ln ⁡ sin ⁡ x 2 + ln ⁡ ( C 1 )

Então, voltando lá na nossa integral do passo 4 , vamos ter:

∫ d ln ⁡ v ' = ∫ - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 + 1 x d x

ln ⁡ v ' = - 2 ln ⁡ sin ⁡ x 2 + ln ⁡ ( x ) + ln ⁡ ( C 1 )

Usando as propriedades de logaritmo e usando a exponencial, conseguimos simplificar nossa expressão:

v ' = C 1 x sin ⁡ ( x 2 )

Passo 5

Integrando mais uma vez, vamos descobrir o valor de v :

v = ∫ C 1 x sin ⁡ ( x 2 )   d x

Resolvendo por substituição, vamos chamar u = x 2 → d u = 2 x   d x e teremos:

v = C 1 2 ∫ 1 sin ⁡ u d u = C 2 cot ⁡ u + C 3

Voltando à variável x :

v ( x ) = C 2 cot ⁡ x 2 + C 3

Passo 6

Agora voltando à nossa solução geral, que definimos no passo 2 , temos:

y x = v x sin ⁡ x 2

y x = C 2 cot ⁡ x 2 + C 3 sin ⁡ x 2

y x = C 2 cos ⁡ x 2 + C 3 sin ⁡ x 2

Como y x = y 1 x + y 2 ( x ) e y 1 x = sin ⁡ ( x 2 ) , então nossa segunda solução é:

y 2 x = cos ⁡ x 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y 2 x = cos ⁡ x 2

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