Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

a) x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0 ; x 3 ,   x 4 ,   ( 0 ,   ∞ )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e duas funções, e pediu pra gente verificar se essas funções são solução da EDO. Mas como a gente faz isso?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes (LI) e elas tem que satisfazer a equação:

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0

Então, o que a gente precisa fazer é derivar y 1 = x 3 e y 2 = x 4 duas vezes, substituir na equação e ver se dar zero. Depois, para verificar se as soluções são LI, nós calculamos o Wronskiano fazendo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Por fim, basta montar a solução geral na forma:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y 1 = x 3 :

y 1 ' = 3 x 2

Derivando novamente:

y 1 ' ' = 6 x

Substituindo na EDO:

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0

x 2 6 x - 6 x 3 x 2 + 12 x 3 = 0

Calculando:

6 x 3 - 18 x 3 + 12 x 2 = 0

18 x 3 - 18 x 3 = 0

0 = 0

Então, y 1 é solução!

Passo 3

Agora vamos ver se y 2 = x 4 é solução. Derivando:

y 2 ' = 4 x 3

Derivando novamente:

y 2 ' ' = 12 x 2

Substituindo na EDO:

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0

x 2 12 x 2 - 6 x 4 x 3 + 12 x 4 = 0

Resolvendo:

12 x 4 - 24 x 4 + 12 x 4 = 0

0 = 0

Então, y 2 também é solução!

Passo 4

Agora só falta ver se as funções são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = x 3 x 4 3 x 2 4 x 3

= 4 x 6 - 3 x 6

= x 6 ≠ 0

Logo, o conjunto é LI e, portanto, um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

A nossa solução geral é dada por:

y = c 1 x 3 + c 2 x 4

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y = c 1 x 3 + c 2 x 4

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