A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz o PVI

3 4 y ' ' + k 2 y = 0 ,   y ( 0 ) = 2 ,   y ' ( 0 ) = 1

( a ) Obtenha a solução em função do parâmetro k .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que encontrar a solução da seguinte equação diferencial de segunda ordem

3 4 y ' ' + k 2 y = 0

essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea, portanto, a solução se resulta em encontrar as raízes do polinômio característicos. Como este é um PVI, também teremos ao final de tudo avaliar as condições iniciais

y ( 0 ) = 2 e y ' ( 0 ) = 1

Mas isso será apenas após completar a questão como um todo! Bora lá!

Passo 2

Precisamos escrever o polinômio característico desta equação, ele é tal que

3 4 r 2 + k 2 = 0

Esta expressão resulta em raízes complexas conjugadas da forma

r = ± 2 k 3 3 i

Você lembra qual o formato da solução quando temos raízes complexas conjugadas? Vem comigo!

Passo 3

Para um polinômio característicos com raízes complexas conjugadas, temos que a solução é da forma

y ( t ) = C 1 e a t s e n ( b t ) + C 2 e a t c o s ( b t )

em que podemos identificar a e b através do formato de um número complexo usual z = a ± b i , portanto, temos que a = 0 e b = 2 k 3 3 . A solução é então

y ( t ) = C 1 s e n ( 2 k 3 3 t ) + C 2 c o s ( 2 k 3 3 t )

Este é o formato da solução geral! Vamos agora aplicar as condições iniciais para obter as constantes arbitrárias C 1 e C 2 . Saca só!

Passo 4

A primeira condição inicial é simplesmente y ( 0 ) = 2 , portanto, temos que

2 = C 1 s e n ( 0 ) + C 2 c o s ( 0 ) = C 2

daqui temos diretamente que

C 2 = 2

para avaliar a segunda condição inicial precisamos calcular a derivada da solução! Usando que

d d t [ c o s ( a t ) ] = - a   s e n ( a t ) e d d t [ s e n ( a t ) ] = a   c o s ( a t )

a nossa derivada toma a forma

y ' ( t ) = 2 k 3 3 C 1 c o s ( 2 k 3 3 t ) - 2 k 3 3 C 2 s e n ( 2 k 3 3 t )

Aplicando a condi��ão inicial, temos que

1 = 2 k 3 3 C 1 c o s ( 0 ) - 2 k 3 3 C 2 s e n ( 0 ) = 2 k 3 3 C 1

temos então que

C 1 = 3 2 k 3 = 3 2 k

E a solução do PVI é dada por

y ( t ) = 3 2 k s e n ( 2 k 3 3 t ) + 2 c o s ( 2 k 3 3 t )

A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima! Até jajá!

Resposta

y ( t ) = 3 2 k s e n ( 2 k 3 3 t ) + 2 c o s ( 2 k 3 3 t )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2