Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2015.1 - 1 d

Ache g ' 1 , sendo g a inversa de f , e f x = x 5 + x 3 + 7 x + 1 .

Passo 1

Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

A derivada da inversa de uma função é dada da seguinte maneira:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Se g é a inversa de f , teremos:

g ' x = 1 f ' g x

Como f 0 vale, pela função dada:

f 0 = 0 5 + 0 3 + 7 0 + 1 = 1

vemos que para sua inversa valerá que g 1 = 0 . Então, g ' x pode ser calculado da seguinte maneira:

g ' 1 = 1 f ' 0

Sendo o ponto coordenado x , y = 0,1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos derivar f para achar o f ' 0 :

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 7 + 0

f ' 0 = 5 0 4 + 3 0 2 + 7

f ' 0 = 7

Assim,

g ' 1 = 1 f ' 0 = 1 7

Resposta

g ' 1 = 1 7

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