Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Determine a derivada:

b) y = arc tg ⁡ ( 2 x + 3 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma função trigonométrica inversa e pediu pra gente calcular a derivada dela. Lembra como a gente faz isso?

Calma, primeiro vamos lembrar que uma função inversa f - 1 é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Então, se y = arc tg ⁡ x a inversa vai ser:

x = tg ⁡ ( y )

Tendo a função nessa forma, fica mais fácil derivar né? Porque nós conhecemos a derivada da função trigonométrica tg ⁡ ( y )   e a derivada de x .

Assim, o que nós vamos fazer é derivar essa expressão dos dois lados, encontrar um y ' e colocar em função de x , depois aplicar o resultado na nossa função. Vamos fazendo que vai ficar mais claro! 😉

Passo 2

Da função x = tg ⁡ ( y ) , derivando dos dois lados, temos:

x ' = ( tg ⁡ ( y ) ) '

A derivada da tg ⁡ ( y ) é sec 2 ⁡ ( y ) e a derivada de x ' = 1 . Assim,

1 = y ' ∙ sec 2 ⁡ ( y )

Repara que surge um y ' ali, porque a gente faz a derivada da função de fora vezes a derivada do argumento (pela regra da Cadeia). Assim, isolando y ' , nós temos:

y ' = 1 sec 2 ⁡ ( y )

Mas a gente quer que essa derivada fique em função de x , não de y . Então, o que nós podemos fazer é usar duas identidades trigonómetricas:

1 sec 2 ⁡ ( y ) = cos 2 ⁡ ( y )

sin 2 ⁡ ( y ) + cos 2 ⁡ ( y ) = 1

Porque substituindo na derivada nós teremos:

y ' = 1 sec 2 ⁡ ( y ) = cos 2 ⁡ ( y ) = cos 2 ⁡ y 1

No lugar do 1 a gente substitui a identidade sin 2 ⁡ ( y ) + cos 2 ⁡ ( y ) = 1 :

y ' = cos 2 ⁡ ( y ) sin 2 ⁡ ( y ) + cos 2 ⁡ ( y )

Parece loucura, né? Mas confia que vai dar certo rs.

Vamos dividir todo mundo por cos 2 ⁡ ( y ) agora, em cima e embaixo, e teremos:

y ' = 1 sin 2 ⁡ y cos 2 ⁡ y + 1

Mas lembra que sin 2 ⁡ y cos 2 ⁡ y = tg 2 ⁡ ( y ) ? Então,

y ' = 1 tg 2 ⁡ ( y ) + 1

Já ta mais bonitinho, mas pode ficar ainda melhor, porque no passo 1 nós definimos x = tg ⁡ ( y ) , certo? Então vamos substituir na derivada:

y ' = 1 x 2 + 1

Olha só que beleza! Mas calma aí, o enunciado não pediu a derivada de y = arctg ⁡ ( 2 x + 3 ) ?

É verdade, e nós vamos usar esse resultado para calculá-la.

Passo 3

No passo 2 a gente calculou a derivada de y = arctg ⁡ x . A única coisa que muda em y = arctg ⁡ ( 2 x + 3 ) é o argumento da função, certo?

Então, se a gente chamar 2 x + 3 = u , vamos ter:

y = arctg ⁡ ( u )

Que é calculada da mesma forma que no passo anterior, então:

y ' = 1 u 2 + 1

Só que u = 2 x + 3 , substituindo isso de volta, temos:

y ' = 1 2 x + 3 2 + 1

E a mágica acontece.

A gente pode deixar o resultado dessa forma ou abrir essa potência na forma:

y ' = 1 4 x 2 + 12 x + 9 + 1

y ' = 1 4 x 2 + 12 x + 10

Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y ' = 1 4 x 2 + 12 x + 10

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