Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Seja

f x = x + e x + arctan ⁡ ( 2 x )

a) Determine f ' , a derivada da função g

b) Determine a derivada da inversa de f em ( f 0 ,   0 )

Passo 1

a) f ' x = x ' + ( e x ) ' + ( arctan ⁡ ( 2 x ) ) '

f ' x = 1 + e x + 2 1 + ( 2 x ) ²

f ' x = 1 + e x + 2 1 + 4 x ²

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Passo 2

b) Para calcular a derivada da inversa de f vamos usar o Teorema da Função Inversa.

f - 1 ' y = 1 f ' ( x )

f - 1 ' y = 1 1 + e x + 2 1 + 4 x ²

Passo 3

Queremos a derivada da inversa quando:

x = 0

y = 0 + e 0 + arctan ⁡ 0 = 1

Agora é só substituir y e x na expressão da derivada da inversa.

f - 1 ' 1 = 1 1 + e 0 + 2 1 + 4.0 ² = 1 1 + 1 + 2 = 1 4

Resposta

  1. f - 1 ' y = 1 1 + e x + 2 1 + 4 x ²
  2. 1 4

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