Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Seja

g x = 1 - 2 tg ⁡ x / π

Determine g - 1 ' 0 .

Passo 1

Vamos primeiro tentar isolar x para determinar a expressão da função inversa:

y = 1 - 2 tg ⁡ x / π ⟹ tg ⁡ x / π = 1 2 1 - y

Aplicando o arco tangente, cortamos a tangente a esquerda:

x π = arctg ⁡ 1 2 1 - y

Ou seja: x = g - 1 y = π ⋅ arctg ⁡ 1 2 1 - y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, vamos tentar determinar g - 1 ' y agora. Para tal, derivamos usando a regra da cadeia:

g - 1 ' y = π ⋅ 1 1 + 1 2 1 - y 2 ⋅ 1 2 1 - y ' = π ⋅ 1 1 + 1 2 1 - y 2 ⋅ - 1 2

Ou seja: g - 1 ' y = - π 2 ⋅ 1 1 + 1 2 1 - y 2

Não precisa se preocupar em distribuir, vamos substituir tudo ao final.

Passo 3

Finalmente, só substituir y = 0 agora para encontrar g - 1 ' 0 : g - 1 ' 0 = - π 2 ⋅ 1 1 + 1 2 1 - 0 2 = - π 2 ⋅ 1 1 + 1 4 = π 2 ⋅ 1 5 / 4 =

g - 1 ' 0 = - 2 π 5

Pronto! Quer saber porque não usamos o teorema da função inversa? Olhe o passo seguinte.

Passo 4

g - 1 ' 0 , pelo Teorema da Função Inversa: g ' x = 1 g - 1 ' y

Para tal, vamos calcular g ' x .

Calculando g ' x , usamos a regra da cadeia:

g ' x = 1 - 2 tg ⁡ x / π ' = - 2 π sec 2 ⁡ x π

Já calculamos g ' x , só que g - 1 ' 0 não vem necessariamente quando x = 0 . Olhe lá em cima na fórmula do teorema da função inversa. O argumento de g - 1 ' é y e não x . Temos então que achar qual valor de x tem y = 0 .

Para tal, substituímos na expressão: g x = 1 - 2 tg ⁡ x / π = 0

1 - 2 tg ⁡ x / π = 0 ⟹ tg ⁡ x / π = 1 2

Achar a solução dessa equação de cara não é simples, então fizemos da outra forma.

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