Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Determine a derivada:

c) y = arcsin ⁡ ( e x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma função trigonométrica inversa e pediu pra gente calcular a derivada dela. Lembra como a gente faz isso?

Calma, primeiro vamos lembrar que uma função inversa f - 1 é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Então, se y = arcsin ⁡ x a inversa vai ser:

x = sin ⁡ ( y )

Tendo a função nessa forma, fica mais fácil derivar né? Porque nós conhecemos a derivada da função trigonométrica sin ⁡ ( y )   e a derivada de x .

Assim, o que nós vamos fazer é derivar essa expressão dos dois lados, encontrar um y ' e colocar em função de x , depois aplicar o resultado na nossa função. Vamos fazendo que vai ficar mais claro! 😉

Passo 2

Da função x = sin ⁡ ( y ) , derivando dos dois lados, temos:

x ' = ( sin ⁡ y ) '

x ' = y ' cos ⁡ ( y )

Repara que surge um y ' ali, porque a gente faz a derivada da função de fora vezes a derivada do argumento (pela regra da Cadeia). Assim, isolando y ' , nós temos:

y ' = x ' cos ⁡ y

Mas a gente quer que essa derivada fique em função de x , não de y . Então, o que nós podemos fazer é usar a identidade trigonómetrica:

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Isolando cos ⁡ y :

cos 2 ⁡ y = 1 - sin 2 ⁡ y

cos ⁡ y = 1 - sin 2 ⁡ y

Mas lembra que no passo 1 nós definimos x = sin ⁡ ( y ) ? Então, substituindo:

cos ⁡ y = 1 - x 2

Jogando isso lá na nossa derivada:

y ' = x ' 1 - x 2

Essa é nossa “fórmula geral” pra derivada da inversa da função sin ⁡ x . Só que o enunciado nos deu y = arcsin ⁡ ( e x ) , então vamos lá!

Passo 3

Usando o resultado que nós obtevemos no passo 2 ,

y ' = x ' 1 - x 2

Nós podemos substituir e x no lugar do x , já que esse é nosso argumento. Então:

y ' = e x ' 1 - ( e x ) 2

Calculando a derivada de e x (que é o próprio e x ) em cima e elevando ao quadrado embaixo, temos:

y ' = e x 1 - e 2 x

Prontinho, encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! 😉

Resposta

y ' = e x 1 - e 2 x

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