Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Considere a função f x = 1 + sen ⁡ x 2 .

a Determine f 17 π 3 .

b Determine o maior intervalo contendo 17 π 3 tal que f seja invertível.

c A reta tangente ao gráfico desta inversa de f no ponto f 17 π 3 , 17 π 3 .

Passo 1

a Esse item é tranquilo, só substituir o valor, né?

f 17 π 3 = 1 + sen ⁡ 17 π 6 = 1 + sen ⁡ 2 π + 5 π 6

= 1 + sen ⁡ 5 π 6 = 1 + 1 2 = 3 2

Passo 2

b Agora enrola um pouco. Vamos pensar, o que uma função precisa para ser invertível? Precisa ser bijetiva, ou seja, para cada x temos um valor de y diferente. Acontece que o seno tem uma série de valores de y que se repetem. Com isso, vemos que a função seno não é invertível em todo o seu domínio. Agora, por exemplo, num intervalo de - π 2 , π 2 o sen ⁡ x assume todos os valores que ele pode sem que nenhum valor de y se repita. Como na questão a função é um sen ⁡ x 2 , esse intervalo passa a ser - π , π .

Mais que isso, qualquer intervalo como esse só que deslocado π , para frente ou para trás, terá mesmo efeito. Como a função é sen ⁡ x 2 essa distância deslocada passa a ser 2 π :

- π + k 2 π , π + k 2 π ,           p a r a   t o d o   k   ∈ R

Ou seja, o que queremos nessa questão é saber para que k teremos 17 π 3 dentro do intervalo. É só tentar alguns k ’s positivos que vamos ver que o que gera isso é k = 3 .

Assim, o maior intervalo contendo 17 π 3 tal que f seja invertível é [ 5 π , 7 π ] .

Passo 3

c Por definição, a derivada da inversa é dada assim:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

O coeficiente angular da reta tangente a um gráfico é dado pela derivada, modelando a reta por y = a x + b . A gente está trabalhando com o ponto f 17 π 3 , 17 π 3 = 3 2 , 17 π 3 :

f - 1 ' 3 2 = 1 f ' f - 1 3 2 = 1 f ' 17 π 3

Como f ' x é dado por cos ⁡ x 2 2 , temos isso aqui:

= 1 cos ⁡ 17 π 6 2 = 2 - cos ⁡ 5 π 6 = 2 - 3 2 = - 4 3 3

Então o coeficiente angular da reta é esse aí. Falta o linear. Como a reta passa no ponto 3 2 , 17 π 3 , podemos substituí-lo:

y = a x + b → 17 π 3 = - 4 3 3 3 2 + b

b = 17 π 3 + 2 3

Então a reta é o seguinte:

y = - 4 3 3 x + 17 π 3 + 2 3

Resposta

a   f 17 π 3 = 3 2

b   [ 5 π , 7 π ]

c   y = - 4 3 3 x + 17 π 3 + 2 3

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f x = ∫ x 2 t d t ,   x < 0 ; d = - 6
Calcule.j) a r c   s e n - 3 2
Calculec) cos ⁡ a r c   s e n - 3 2
Calculed) s ec ⁡ a r c   t g   1