Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Seja:

f x = ln ⁡ - 3 x - x 2

Calcule a derivada de f .

Determine um intervalo I , o maior possível, tal que - 1 ∈ I e que f seja invertível.

Passo 1

Para derivar, usamos a regra da cadeia. Derivamos o ln normalmente preservando o argumento e depois multiplicamos pela derivada do argumento:

f ' x = 1 - 3 x - x 2 - 3 x - x 2 ' = - 3 - 2 x - 3 x - x 2 = 2 x + 3 x 2 + 3 x

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Passo 2

Ok. A função será invertível em um intervalo I se for contínua nesse intervalo e se a derivada não for zero no mesmo.

A função f é composta pelo log e um polinômio no seu argumento. Como ambas são funções contínuas, f também será.

Vamos pegar a derivada e verificar os pontos onde é zero.

2 x + 3 x 2 + 3 x = 0

Descartando x = 0 e x = - 3 , que zeram o denominador:

2 x + 3 = 0 ⟹ x = - 3 2

Neste ponto a derivada é zero.

A questão pede um intervalo contendo - 1 , dessa maneira, teremos:

I = - 3 2 ,   0

Indo até zero, pois x > 0 não faz parte do domínio da função.

Resposta

f ' x = 2 x + 3 x 2 + 3 x

I = - 3 2 ,   0

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