Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Enuncie a regra da derivada da função inversa. Use este resultado para calcular a derivada da

função

f   ( x )   =   a x .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada da função

f   ( x )   =   a x .

Utilizando a regra da derivada da função inversa. Lembram dela?

Vamos relembrar. Temos que

f ' ( x ) = 1 / ( f - 1 ( f ( x ) ) )

Passo 2

Vamos começar calculando a função inversa de

f   ( x )   =   a x .

Fazendo f - 1 ( x ) = l o g a x . temos:

f - 1 ( f ( x ) ) = x

Logo

f - 1 ( x ) = l o g a x

é a função inversa de f ( x )

Passo 3

Vamos calcular a derivada pelo método da função inversa. Temos que

f ' ( x ) = 1 / ( f - 1 ) ' ( f ( x ) )

Bem, temos que vamos calcular

d d x f - 1 ( x ) = d d x l o g a x

Para isso, vamos reescrever nossa função de outra forma:

d d x l o g a x = d d x l n ( x ) l n ( a )

= 1 / x l n ( a )

Logo,

f ' ( x ) = 1 / ( f - 1 ) ' ( f ( x ) )

= a x l n ( a )

Prontinho. Mostramos que

f ' ( x ) = a x l n ( a )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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