Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Seja f x = e x 5 + x 3 + x . Mostre que f é invertível para todo x ∈ R e calcule a derivada da função inversa em e 3 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função f ( x ) é invertível e calcular a derivada da inversa dela em y = e 3 , ou seja, calcular f - 1 ' ( e 3 ) .

Pra determinar se f é invertível, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que diz que se f ( x ) é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) possui inversa. Além disso, temos a relação entre as derivadas das funções:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

A partir dessa relação vamos encontrar f - 1 ' ( e 3 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Derivando f x = e x 5 + x 3 + x , usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = e x 5 + x 3 + x ∙ x 5 + x 3 + x '

f ' x = ( 5 x 4 + 3 x 2 + 1 ) e x 5 + x 3 + x

Como a derivada é positiva para todo x , a função é crescente e, portanto, injetiva. Assim, pelo Teorema da Função Inversa, f ( x ) possui inversa.

Passo 3

Agora, como a gente quer encontrar f - 1 ' ( e 3 ) , vamos verificar o valor da função f ( x ) quando y = e 3 :

e x 5 + x 3 + x = e 3

Calculando o ln dos dois lados:

x 5 + x 3 + x = 3

Fatorando:

x - 1 x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 3 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, precisamos que x - 1 = 0 ou x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 3 = 0 , mas esse segundo termo não tem solução em R , então temos apenas:

x - 1 = 0

Isolando x :

x = 1

Assim, f 1 = e 3 e f - 1 e 3 = 1 .

Passo 4

Mas a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, pra isso vamos usar a relação:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Para x = 1 e y = e 3 , teremos:

f ' 1 = 1 f - 1 ' e 3

→   f - 1 ' e 3 = 1 f ' 1

Encontrando f ' 1 em f ' x = ( 5 x 4 + 3 x 2 + 1 ) e x 5 + x 3 + x , temos:

f ' 1 = 5 ( 1 ) 4 + 3 ( 1 ) 2 + 1 e ( 1 ) 5 + ( 1 ) 3 + 1 = 9 e 3

Então, nossa inversa será:

f - 1 ' e 3 = 1 9 e 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 ' e 3 = 1 9 e 3

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