Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Questão 2:

Seja f x = 2 cos ⁡ π x .

  1. Considere como domínio de f o maior possível para que f seja inversível e para que o gráfico de f - 1 (a função inversa de f ) passe pelo ponto P = 2 ,   - 1 4 . Nestas condições, determine o domínio de f , o domínio de f - 1 , e uma expressão para f - 1 .
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 em x = 2 .

Passo 1

a )

Bem, normalmente quando vamos falar de função inversa se conseguirmos desenhar um esboço do gráfico da função, nos ajuda muito. No nosso caso, f x = 2 cos ⁡ π x é uma função parecida com o cosseno, então conseguimos sim desenha-la:

Perceba que quando x = - 2 ,   0 ,   2 ... O cosseno assume o mesmo valor de 1 ...

Então

f - 2 = f 0 = 2 cos ⁡ 0 = 2

Agora quando x = - 1 ,   1 …

f - 1 = f 1 = 2 cos ⁡ π = - 2

Colocando esses pontos no gráfico e lembrando que o gráfico do cosseno é semelhante a senoide, ganhamos o esboço da nossa f x ...

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Passo 2

Queremos encontrar o maior domínio que existe uma função inversa e, além disso, ela deve passar pelo ponto P = 2 ,   - 1 4 .

Repare que, infelizmente, esse domínio que está esboçado aí não serve para o domínio da inversa, pois ele é grande demais. Você quer ver uma prova?

Como a função inversa é como se girássemos 90 ° à direita o gráfico... Quando fazemos isso...

Isso é uma função? Não! Pois se traçarmos uma reta vertical ela vai cortar o gráfico duas vezes ou mais.

Seria função então se o domínio fosse, por exemplo, de - 2 a - 1 (em x )... Ou outro domínio possível seria de - 1 a 0 , e assim por diante sacou?

Beleza, já sabemos o tamanho do maior intervalo e já até vimos alguns intervalos que funciona, mas agora qual deles vamos pegar?

Essa pergunta se responde observando que o problema não quer qualquer intervalo, e sim aquele que contém o ponto P = 2 ,   - 1 4 . Como esse ponto pertence ao intervalo já da função inversa, esse 2 se refere ao y e esse - 1 4 = x = f - 1 , saca?

Então basicamente já matamos a charada, queremos o intervalo que contém o ponto onde x = - 1 4 , ou seja, o intervalo de - 1 a 0 , e ele é o maior possível já, sacou?

x ∈ - 1 ,   0

Passo 3

Agora queremos obter o domínio da função inversa f - 1 . Bem, com o método gráfico isso é bem easy. Veja novamente o gráfico da nossa função f com o maior intervalo onde ela contém iversa que queremos...

Se girarmos novamente o gráfico, vamos obter o desenho da inversa...

Qual é o domínio que você pode notar? Lembre-se que na inversa, o domínio está em y (o que está deitado)

Isso mesmo, de - 2 a 2 .

De uma forma mais formal, podemos dizer que a imagem de f é o domínio de f - 1 ...

I m g f = - 2 ,   2 = d o m f - 1

Passo 4

Por fim, para obter a expressão da inversa, isolemos o x ...

f x = 2 cos ⁡ π x

Chamando f x = y ...

y 2 = cos ⁡ π x  

Cuidado! Pois normalmente tenderíamos a simplesmente colocar...

π x = arccos ⁡ y 2

Que é a inversa do cosseno. Mas isso tem um problema aqui. Veja só, já sabemos que y varia de - 2 a 2 . Se colocarmos - 2 ali no lugar dele...

π x = arccos ⁡ - 2 2         →             π x = arccos ⁡ - 1

Agora qual é o arco cujo cosseno é - 1 ? A resposta é π , pois arco-cosseno é uma função considerada positiva. Embora sabemos que – π , também é resposta para o problema. Então...

  π x = arccos ⁡ - 1     →             π x = π           →             x = 1

Mas no gráfico da inversa o x que corresponde o y = - 2 é - 1 , logo, devemos multiplicar esse π x aqui por - 1 ...

- π x = arccos ⁡ y 2   →

x = - 1 π arccos ⁡ y 2

Se chamarmos x = f - 1 y , eis a função inversa...

f - 1 y = - 1 π arccos ⁡ y 2

Repare que essa já é a resposta, mas é feio deixar assim. É mais bonitinho ter o x como uma variável, pelo menos os matemáticos acham isso. Por isso vamos aqui mudar essa letra de y para x , mas isso é só um nome, heim...

f - 1 x = - 1 π arccos ⁡ x 2

Passo 5

b )

Bem, a equação da reta tangente a um ponto a da inversa de f é dado por...

y = f - 1 ' a ⋅ x - a + f - 1 a

Para o ponto 2 ...

y = f - 1 ' 2 ⋅ x - 2 + f - 1 2

Repare que precisamos da derivada da função inversa no ponto x = 2 . De acordo com o teorema da função inversa, podemos derivar essa função aí em qualquer ponto pela fórmula...

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Com x = 2 ...

f - 1 2 = - 1 π arccos ⁡ 2 2

Qual o arco cujo cosseno é 2 2 ? 45 ° ...

f - 1 2 = - 1 π π 4 = - 1 4

Então...

f - 1 ' 2 = 1 f ' - 1 4

Qual é a derivada da função f ?...

f x = 2 cos ⁡ π x     →           f ' x = - 2 sin ⁡ π x ⋅ π x '

f ' x = - 2 π sin ⁡ π x

Logo...

f - 1 ' 2 = 1 - 2 π sin ⁡ π - 1 4 =

f - 1 ' 2 = 1 - 2 π sin ⁡ - π 4 = 1 - 2 π - 2 2

f - 1 ' 2 = 1 π 2

Logo...

y = f - 1 ' 2 ⋅ x - 2 + f - 1 2

y = 1 π 2 ⋅ x - 2 - 1 4

Resposta

a )  

Maior domínio de f nas condições dadas:   - 1 ,   0

b )       y = 1 π 2 x - 2 - 1 4

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