Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Determine a derivada:

d) y = e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma função trigonométrica inversa e pediu pra gente calcular a derivada dela. Lembra como a gente faz isso?

Calma, primeiro vamos lembrar que uma função inversa f - 1 é uma função que faz o inverso da função f ( x ) . Então, se y = arcsin ⁡ x a inversa vai ser:

x = sin ⁡ ( y )

Tendo a função nessa forma, fica mais fácil derivar né? Porque nós conhecemos a derivada da função trigonométrica sin ⁡ ( y )   e a derivada de x .

Assim, o que nós vamos fazer é derivar essa expressão dos dois lados, encontrar um y ' e colocar em função de x , depois aplicar o resultado na nossa função. Vamos fazendo que vai ficar mais claro! 😉

Passo 2

Da função x = sin ⁡ ( y ) , derivando dos dois lados, temos:

x ' = ( sin ⁡ y ) '

x ' = y ' cos ⁡ ( y )

Repara que surge um y ' ali, porque a gente faz a derivada da função de fora vezes a derivada do argumento (pela regra da Cadeia). Assim, isolando y ' , nós temos:

y ' = x ' cos ⁡ y

Mas a gente quer que essa derivada fique em função de x , não de y . Então, o que nós podemos fazer é usar a identidade trigonómetrica:

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Isolando cos ⁡ y :

cos 2 ⁡ y = 1 - sin 2 ⁡ y

cos ⁡ y = 1 - sin 2 ⁡ y

Mas lembra que no passo 1 nós definimos x = sin ⁡ ( y ) ? Então, substituindo:

cos ⁡ y = 1 - x 2

Jogando isso lá na nossa derivada:

y ' = x ' 1 - x 2

Essa é nossa “fórmula geral” pra derivada da inversa da função sin ⁡ x . Só que o enunciado nos deu y = e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x ) , então a gente a multiplicação de uma função exponencial e 3 x e uma trigonométrica inversa arcsin ⁡ ( 2 x ) . Será que dá pra calcular a derivada do mesmo jeito?

Passo 3

Bom, como nós temos uma multiplicação de funções, nós precisamos usar a regra do produto na derivação, que diz que:

f x ∙ g x ' = f ' x g x + f x g ' ( x )

No nosso caso, vamos chamar f x = e 3 x e g x = arcsin ⁡ ( 2 x ) . Então aplicando a regra, nós temos:

e 3 x arcsin ⁡ 2 x ' = e 3 x ' arcsin ⁡ ( 2 x ) + e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x ) '

Pra calcular a derivada de e 3 x nós precisamos aplicar a regra da Cadeia (deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro). É como se a gente fizesse:

e 3 x ' → e x ' 3 x ' = e x ∙ 3

Só que a nossa função é e 3 x , então vamos aplicar o expoente correto:

e 3 x ' = 3 e 3 x

Beleza, e a derivada de arcsin ⁡ ( 2 x ) ?

Passo 4

Lembra que nos passo 2 , para y = arcsin ⁡ x , nós encontramos:

y ' = x ' 1 - x 2

Para arcsin ⁡ ( 2 x ) o resultado não vai ser muito diferente, basta a gente substituir 2 x ali no lugar do x :

y ' = ( 2 x ) ' 1 - ( 2 x ) 2

Calculando a derivada de 2 x em cima e elevando ao quadrado embaixo, temos:

y ' = 2 1 - 4 x 2

Mas calma que esse ainda não é o nosso resultado, tá? Falta pegar a derivada de e 3 x ali em cima e juntar tudo na regra do produto:

e 3 x arcsin ⁡ 2 x ' = e 3 x ' arcsin ⁡ ( 2 x ) + e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x ) '

e 3 x arcsin ⁡ 2 x ' = 3 e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x ) + e 3 x ∙ 2 1 - 4 x 2

Arrumando nosso resultado um pouquinho, fica:

y ' = 3 e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x ) + 2 e 3 x 1 - 4 x 2

Prontinho, encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y ' = 3 e 3 x arcsin ⁡ ( 2 x ) + 2 e 3 x 1 - 4 x 2

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