Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Regras de Derivação II

Seja h x = log 3 ⁡ 2 x 3 + x ,           x > 0 :

( a ) Calcule a derivada de h ( x ) ;

( b ) A função h possui inversa?

( c ) Seja a = h 1 , determine o valor de a ;

( d ) Calcule a derivada da inversa de h em a ;

Passo 1

( a ) Vamos derivar a função h ( x ) usando a Regra da Cadeia duas vezes:

h ' x = 1 ln ⁡ 3 2 x 3 + x ' 2 x 3 + x

= 1 ln ⁡ 3 6 x 2 + 1 2 2 x 3 + x 2 x 3 + x

= 1 ln ⁡ 3 6 x 2 + 1 2 2 x 3 + x

= 1 2 ln ⁡ 3 6 x 2 + 1 2 x 3 + x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Repara uma coisa, o domínio de h x é x > 0 . Ora, para esse espaço do domínio nós temos h ' ( x ) sempre positivo! Ora, isso significa que h x está sempre crescendo à medida que cresce x . Da mesma forma, h - 1 x é crescente para todo x > 0 . Enfim, notamos que, por essa razão, h - 1 x é uma função que para cada x gera um y diferente, sendo assim h ( x ) injetora e inversível.

Passo 3

( c ) Se a = h ( 1 ) , então:

a = h 1 = log 3 ⁡ 2 1 3 + 1

= log 3 ⁡ 3 1 2

= 1 2

Passo 4

( d ) O cara está pedindo agora a derivada da inversa de h em a , ou seja, ele quer h - 1 ' ( a ) . Ora, por definição nós temos que:

h - 1 ' a = 1 h ' h - 1 a

Como achamos, a = 1 2 e h ' x = 1 2 ln ⁡ 3 6 x 2 + 1 2 x 3 + x . Assim,

h - 1 ' a = 1 h ' h - 1 1 2 = 1 h ' 1

= 1 1 2 ln ⁡ 3 6 1 2 + 1 2 1 3 + 1

= 1 1 2 ln ⁡ 3 7 3

= 1 7 6 ln ⁡ 3

= 6 ln ⁡ 3 7

Resposta

a   h ' x = 1 2 ln ⁡ 3 6 x 2 + 1 2 x 3 + x

b   h ( x )   é   i n v e r s í v e l

c   a = 1 2

d   h - 1 ' a = 6 ln ⁡ 3 7

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