Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

6. Seja f x = 1 a r c t a n l o g l o g   x   para x > 0 .

(a) Prove que f é invertível e calcule f - 1 ' π 2 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos provar que é possível obter a função inversa de f e também queremos calcular a derivada inversa de f em x = π 2 .

Parece complicado, não é? 🤔

Para calcular uma função inversa, temos que escrever x em função de y , ou seja, temos f x = y e nosso objetivo é obter f y = x .

Depois disso temos que calcular a derivada de f - 1 e pra isso usamos a equação

f ' x = 1 f - 1 ' y → f - 1 ' y = 1 f ' x

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Substituindo f x por y , temos

f x = y = 1 a r c t a n l o g l o g   x  

a r c t a n l o g l o g   x   = 1 y

A inversa da função a r c t a n é oposta à t a n , então tirando a tangente dos dois lados...

t a n t a n   a r c t a n l o g l o g   x     = t a n t a n   1 y  

l o g l o g   x   = t a n t a n   1 y  

OBS: Entenda l o g l o g   x   como l n l n   x  

Elevando os dois lados a e , temos

e l o g l o g   x   = e t a n t a n   1 y  

x = e t a n t a n   1 y  

Portanto, a função inversa de f x é dada por

f y = e t a n t a n   1 y  

Bacana, não é? 😉

Passo 3

A por último, para calcular a derivada da função inversa, podemos usar a relação

f ' y = 1 f ' x

f ' y = 1 d 1 a r c t a n l o g l o g   x   d x

Pela regra do quociente, temos

d 1 a r c t a n l o g l o g   x   d x = d 1 d x · a r c t a n l o g l o g   x   - 1 · d a r c t a n l o g l o g   x   d x a r c t a n 2 l o g l o g   x  

Aplicando a regra da cadeia na derivada de a r c t a n l o g l o g   x  

d 1 a r c t a n l o g l o g   x   d x = d 1 d x · a r c t a n l o g l o g   x   - 1 · d a r c t a n u d u · d l o g l o g   x   d x a r c t a n 2 l o g l o g   x  

d 1 a r c t a n l o g l o g   x   d x = 0 · a r c t a n l o g l o g   x   - 1 · 1 u 2 + 1 · 1 x a r c t a n 2 l o g l o g   x  

Simplificando e voltando u para l o g l o g   x  

d 1 a r c t a n l o g l o g   x   d x = - 1 l o g l o g   x   2 + 1 · 1 x a r c t a n 2 l o g l o g   x  

d 1 a r c t a n l o g l o g   x   d x = - 1 x a r c t a n 2 l o g l o g   x   l o g l o g   x   2 + 1

Substituindo em f ' y

f ' y = 1 - 1 x a r c t a n 2 l o g l o g   x   l o g l o g   x   2 + 1

f ' y = - x a r c t a n 2 l o g l o g   x   l o g l o g   x   2 + 1

Aplicando o ponto x = π 2

f ' x = π 2 = - π 2 a r c t a n 2 l o g l o g   π 2   l o g l o g   π 2   2 + 1

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' y = - x a r c t a n 2 l o g l o g   x   l o g l o g   x   2 + 1

f ' x = π 2 = - π 2 a r c t a n 2 l o g l o g   π 2   l o g l o g   π 2   2 + 1

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Calcule.d) a r c t g 1