Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

UFF - Cálculo IA - P2 Humberto 2014.2 – 2

Sejam f , g e h funções reais de classe C ∞ , com g uma função inversível e

f x = g - 1 x cosh ⁡ h x

a Calcule f ' em termos de g , g - 1 , h , g ' e h ' . Justifique sua resposta.

b Calcule f ' 0 sabendo que g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 . Justifique sua resposta.

Passo 1

a Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

Aqui vamos usar algumas regras de derivação, primeiro a regra do quociente

f ' x = g - 1 x ' . cosh ⁡ h x - g - 1 x . cosh ⁡ h x ' cosh ⁡ h x 2

Precisamos achar essas derivadas

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar por

g - 1 x '

Bom, temos que sua derivada será dada por:

g ' y = 1 g - 1 x '

Se y = g - 1 x

Logo, teremos

g - 1 x ' = 1 g ' y

Que ficará assim:

g - 1 x ' = 1 g ' g - 1 x

Passo 3

Vamos para

cosh ⁡ h x '

Usamos a Regra da Cadeia para chegar nisso:

cosh ⁡ h x ' = senh ⁡ h x . h ' x

Passo 4

Recapitulando, temos

f ' x = g - 1 x ' . cosh ⁡ h x - g - 1 x . cosh ⁡ h x ' cosh ⁡ h x 2

E acabamos de calcular

g - 1 x ' = 1 g ' g - 1 ( x )

cosh ⁡ h x ' = senh ⁡ h x . h ' x

Substituindo isso na equação que está ali no inicio desse passo

f ' x = 1 g ' g - 1 x . cosh ⁡ h x - g - 1 x . senh ⁡ h x . h ' x cosh ⁡ h x 2

Ficou feio, eu sei. Mas no próximo item, vamos dar nomes aos bois!

Passo 5

( b ) Ele quer a derivada em um ponto, no caso x = 0

Vamos pegar a fórmula que achamos no fim do passo 4 e trocar x por 0 .

f ' 0 = 1 g ' g - 1 0 . cosh ⁡ h 0 - g - 1 0 . senh ⁡ h 0 . h ' 0 cosh ⁡ h 0 2

Usando os dados do enunciado, temos:

g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 .

Agora eu te pergunto, por que ele deu o valor de g 3 = 0 , se estamos interessados no ponto x = 0 ?

Ele deu esse ponto, por que nele a função assume o valor 0! Com isso, a sua função inversa no ponto 0, vai ser o valor do ponto em que a função que deu 0. Fica assim, ó:

g 3 = 0   ∴ g - 1 0 = 3

Sabemos também que

cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2 = 1

senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 0

(Um macete aqui, é que a função c o s h e s e n h no ponto 0, assume os mesmos valores que as funções c o s e s e n , no ponto 0).

Passo 6

Substituindo isso tudo, teremos:

f ' 0 = 1 g ' g - 1 0 . cosh ⁡ 0 - g - 1 0 . senh ⁡ h 0 . h ' 0 cosh ⁡ h 0 2

= 1 g ' 3 . cosh ⁡ 0 - g - 1 0 . senh ⁡ 0 . 7 cosh ⁡ 0 2

= 1 5 . 1 - 3 . 0 . 7 1 2

= 1 5

Resposta

( a )       f ' x = 1 g ' g - 1 x . cosh ⁡ h x - g - 1 x . senh ⁡ h x . h ' x cosh ⁡ h x 2

b         f ' 0 = 1 5

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