Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Considere a função f x = x 5 + x 3 + 3 x .

(b) Determine f - 1 ' ( 5 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar f - 1 ' ( 5 ) , ou seja, precisamos determinar a derivada da função inversa aplicada em 5 .

Pra determinar a inversa dessa função, nós precisaríamos escrever y = x 5 + x 3 + 3 x e isolar x na função, de modo que teríamos f - 1 ( y ) . Mas repare que isolar x nessa função não é possível. Então, como a gente vai determinar o conjunto onde a inversa existe? Ainda bem que pra nos salvar, existe o Teorema da Função Inversa, que diz que se f ( x ) é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) tem inversa e temos:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Sendo assim, vamos calcular a derivada da nossa função e verificar o valor de f - 1 ' ( 5 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Derivando f x = x 5 + x 3 + 3 x , usando a regrinha da potência ( x n = n x n - 1 ), temos:

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 3

Como a derivada da função é sempre positiva, isso garante que exista a função inversa, pelo Teorema. Além disso, quando y = 5 , teremos em f ( x ) :

x 5 + x 3 + 3 x = 5

Fatorando:

x - 1 x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 5 = 0

Pra que esse produto seja verdade precisamos ter x - 1 = 0 ou x 4 + x 3 + 2 x 2 + 2 x + 5 = 0 . Só que esse segundo termo não tem solução em R . Então, teremos apenas:

x - 1 = 0

x = 1

Assim, f 1 = 5 e f - 1 5 = 1 .

Passo 3

Mas calma que ainda não acabou, porque a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, pra isso vamos usar a relação:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Para x = 1 e y = 5 , teremos:

f ' 1 = 1 f - 1 ' 5

→   f - 1 ' 5 = 1 f ' 1

Encontrando f ' ( 1 ) em f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 3 , temos:

f ' 1 = 5 1 4 + 3 1 2 + 3 = 11

Então, nossa inversa será:

f - 1 ' 5 = 1 11

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 ' 5 = 1 11

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