Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Mostre que f x = arctan ⁡ ( x 2 - 1 ) para x > 0 é invertível e calcule f - 1 ' ( π / 4 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função f ( x ) é invertível e calcular a derivada da inversa dela em y = π 4 .

Pra determinar se f é invertível, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que diz que se f ( x ) é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) possui inversa. Além disso, temos a relação entre as derivadas das funções:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

A partir dessa relação vamos encontrar f - 1 ' ( π / 4 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Derivando f x = arctan ⁡ ( x 2 - 1 ) , usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 1 x 2 - 1 2 + 1 ∙ x 2 - 1 '

f ' x = 2 x x 4 - 2 x 2 + 2

Como a derivada é positiva para todo x , a função é crescente e, portanto, injetiva. Assim, pelo Teorema da Função Inversa, f ( x ) possui inversa.

Passo 3

Agora, como a gente quer encontrar f - 1 ' ( π / 4 ) , vamos verificar o valor da função f ( x ) quando y = π 4 :

arctan ⁡ ( x 2 - 1 ) = π 4

Calculando a tangente dos dois lados:

x 2 - 1 = tan ⁡ π 4

Como tan ⁡ π 4 = 1 , temos:

x 2 - 1 = 1

Como a gente quer x > 0 , isolando x , temos:

x 2 = 2 → x = 2

Assim, f 2 = π 4 e f - 1 π 4 = 2 .

Passo 4

Mas a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, pra isso vamos usar a relação:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Para x = 2 e y = π 4 , teremos:

f ' 2 = 1 f - 1 ' π 4

→   f - 1 ' π 4 = 1 f ' 2

Encontrando f ' 2 em f ' x = 2 x x 4 - 2 x 2 + 2 , temos:

f ' 2 = 2 2 2 4 - 2 2 2 + 2 = 2 2 4 - 4 + 2 = 2

Então, nossa inversa será:

f - 1 ' π 4 = 1 2 = 2 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 ' π 4 = 1 2 = 2 2

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