Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Regras de Derivação II

Considere g a função inversa de f . Sejam f 2 = 3 , f ' 2 = 5 E f ' ' 2 = 7 . Determine:

a Determine g 3 .

b Determine g ' 3 .

c Determine g ' ' 3 .

Sugestão: derive f g x = x duas vezes.

Passo 1

a Ora, se f 2 = 3 , sabemos que f - 1 3 = 2 . O cara nos disse que a inversa de f x é a função g x = f - 1 x . Assim:

g 3 = 2

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Passo 2

b Por definição, se g é a inversa de f , nós temos que:

f g x = x

Vamos derivar os dois lados, com ajuda da Regra da Cadeia:

f g x ' = x '

f ' g x g ' x = 1

g ' x = 1 f ' g x

Queremos g ' quando x = 3 , portanto:

g ' 3 = 1 f ' g 3 = 1 f ' 2 = 1 5

Passo 3

c Assim como é descrito na sugestão, vamos derivar o f g x = x duas vezes para chegar no termo que nos interessa. No item b já derivamos uma vez, basta derivar de novo, usando a Regra da Cadeia e do Produto:

f ' g x g ' x ' = 1 '

f ' g x ' g ' x + f ' g x g ' x ' = 0

f ' ' g x g ' x g ' x + f ' g x g ' ' x = 0

Vamos botar o g ' ' x em evidência:

g ' ' x = - f ' ' g x g ' x 2 f ' g x

Agora basta substituirmos o valor de x = 3 para descobrir g ' ' 3 :

g ' ' 3 = - f ' ' g 3 g ' 3 2 f ' g 3

Lembrando que g 3 = 2 e g ' 3 = 1 5 :

g ' ' 3 = - f ' ' 2 1 5 2 f ' 2 = - 7 1 5 2 5

= - 7 125

Resposta

a   g 3 = 2

b   g ' 3 = 1 5

c   g ' ' 3 = - 7 125

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