Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Regras de Derivação II

Seja f x = x 2 - 2 x para x < 1

  1. A funçã0 f é inversível?
  2. Determine uma expressão pra a função f - 1 , a inversa de f
  3. Calcule a derivada de f - 1 em 7

Passo 1

a )

Para sabermos se a função é inversível é só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de 0 .

f ' x = 2 x - 2

E vamos ter que essa derivada só vai ser 0 em

2 x - 2 = 0

2 x = 2

x = 1

Como esse valor não está incluído ela sempre vai ser diferente de 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o x com o y e achar o novo y , assim

Nos temos

y = x 2 - 2 x

Vamos isolar o x

Devemos fazer alguma coisa para chegar em x sozinho, vamos fazer uns algebrismo loucos, primeiro vamos completar quadrados desse x 2 - 2 x , para isso é só somar 1 nos dois lados da equação

y + 1 = x 2 - 2 x + 1

Vamos ter

y + 1 = x - 1 2

x - 1 = ± y + 1

x = 1 ± y + 1

Como ele disse que x < 1 devemos ter esse cara com sinal de na raiz

x = 1 - y + 1

Essa é a nossa função inversa, então vamos ter

f - 1 y = 1 - y + 1

Trocamos o x com y só para mantermos o mesmo eixo de coordenadas e ficar tudo bonitinho.

Passo 3

c )

Vamos aplicar o teorema da função inversa

f ' x = 1 f - 1 ' y

Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de f x

f - 1 ' y = 1 f ' x

Ele quer f - 1 ' 7 isso nos diz que y = 7 vamos achar o valor de x para isso

y = x 2 - 2 x

7 = x 2 - 2 x

x 2 - 2 x - 7 = 0

x = - - 2 ± - 2 2 - 4 1 - 7 2.1 = 2 ± 4 + 28 2 = 2 ± 32 2 = 2 ± 4 2 2 = 1 ± 2 2

Como o valor de x < 1 , vamos ter x = 1 - 2 2

Passo 4

Agora que sabemos o valor de x podemos aplicar o teorema da função inversa

f - 1 ' y = 1 f ' x

Vamos ter

f - 1 ' 7 = 1 f ' 1 - 2 2

A derivada de 1 - 2 2 vai ser

f ' 1 - 2 2 = 2 1 - 2 2 - 2 = 2 - 4 2 - 2 = - 4 2

f - 1 ' 7 = 1 - 4 2

Resposta

  1. f - 1 x = 1 - x + 1
  2. f - 1 ' 7 = 1 - 4 2

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