Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Considere f x = arctan ⁡ x 3 3 - x para x > 1 .

(a) Mostre que f é invertível e calcule f - 1 ' 0 ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a função f ( x ) é invertível e calcular a derivada da inversa dela em y = 0 .

Pra determinar se f é invertível, vamos usar o Teorema da Função Inversa, que diz que se f ( x ) é derivável e f ' x ≠ 0 , então f ( x ) possui inversa. Além disso, temos a relação entre as derivadas das funções:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

A partir dessa relação vamos encontrar f - 1 ' ( 0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Derivando f x = arctan ⁡ x 3 3 - x , usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 1 x 3 3 - x 2 + 1 ∙ x 3 3 - x '

f ' x = x 2 - 1 x 3 3 - x 2 + 1

Como a derivada é positiva para todo x , a função é crescente e portanto injetiva. Assim, pelo Teorema da Função Inversa, f ( x ) possui inversa.

Passo 3

Agora, como a gente quer encontrar f - 1 ' ( 0 ) , vamos verificar o valor da função f ( x ) quando y = 0 :

arctan ⁡ x 3 3 - x = 0

Calculando a tangente dos dois lados, temos:

x 3 3 - x = 0

Colocando x em evidência:

x x 2 3 - 1 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, temos x = 0 ou x 2 3 - 1 = 0 . Mas a gente quer que x > 1 , então, a nossa solução será apenas:

x 2 3 - 1 = 0 → x = 3

Assim, f 3 = 0 e f - 1 0 = 3 .

Passo 4

Como a gente quer a derivada da inversa nesse ponto, vamos usar a relação:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Para x = 3 e y = 0 , teremos:

f ' 3 = 1 f - 1 ' 0

→   f - 1 ' 0 = 1 f ' 3

Encontrando f ' ( 3 ) em f ' x = x 2 - 1 x 3 3 - x 2 + 1 , temos:

f ' 3 = ( 3 ) 2 - 1 ( 3 ) 3 3 - ( 3 ) 2 + 1 = 2 ( 3 ) 3 3 2 - 2 3 3 3 3 + 3 2 + 1

f ' 3 = 2 3 - 6 + 3 + 1 = 2

Então, nossa inversa será:

f - 1 ' 0 = 1 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 ' 0 = 1 2

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