Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Seja a função

f x = 6 x 4 + 8 x 2 + 1

Determine o maior intervalo onde f é invertível.

Passo 1

A primeira coisa é tentar aplicar o Teorema da Função Inversa. Pra isso vamos derivar a função:

f ' x = 24 x 3 + 16 x

Igualando a zero:

f ' x = 24 x 3 + 16 x = 0

x 24 x 2 + 16 = 0

Então temos x = 0 ou:

24 x 2 = - 16

O que é impossível!! Isso porque 24 x 2 0 .

Ok, então o único ponto onde deu problema foi x = 0 mesmo. Então garantimos que f x é invertível em - ,   0 ou em 0 ,   + .

Mas ele quer o maior intervalo possível, vamos ver se temos a função inversível no R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora resta testar se f é bijetora. Se for o caso, ela será invertível em todo o R .

Vamos dar uma olhada nessa função:

f x = 6 x 4 + 8 x 2 + 1

Hmm... Reparou alguma coisa?

Nenhum dos termos que aparece nessa função pode ser negativo! Temos que:

6 x 4 0

8 x 2 0

1 > 0

6 x 4 + 8 x 2 + 1 > 0

f x > 0

Opa! Isso significa que a imagem de f não inclui os números negativos (nem o zero, aliás), portanto f não é sobrejetora f não é bijetora em todo o R . Desta forma, considerando o intervalo 0 ,   + como sendo o domínio da função, percebemos que f é bijetora neste domínio.

Essa é uma possível resposta então, se preferir, pode falar que o maior intervalo é o de - ,   0 pois aqui também a função é Bijetora.

PORÉM CUIDADO! A resposta é um ou outro, você quem escolhe, mas não pode ser os dois ao mesmo tempo, heim!

Resposta

M a i o r   i n t e r v a l o :   0 ,   +

Outra resposta possível:

M a i o r   i n t e r v a l o :   - ,   0

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