Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Seja h x = cos ⁡ x para x ∈ π , 3 π 2

( a ) Determine uma expressão para a inversa de h neste intervalo

b Esboce o gráfico de h e da sua inversa no mesmo plano cartesiano

Passo 1

a Bom, ele pede uma expressão para a inversa do cosseno. Adivinha qual será? A sua função inversa trigonométrica!

h - 1 x = arccos ⁡ x

O cosseno vai de π até 3 π 2 , onde temos

cos ⁡ π = - 1       ;     cos ⁡ 3 π 2 = 0

Logo, o domínio de h - 1 x será de - 1 até 0 .

Passo 2

b Para esboçar o gráfico de h e sua inversa, a dica é a seguinte:

Começamos com o gráfico do cosseno, no seu domínio π , 3 π 2 .

Para desenhar a inversa de qualquer gráfico, podemos desenhar um gráfico simétrico em relação à reta y = x . Vamos traça-la e, então, desenhar um gráfico espelhado em relação a ela:

Agora basta tirar a reta daí:

Resposta

a   h - 1 x = arccos ⁡ x     x ∈ - 1 , 0

b   f i g u r a   a c i m a

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f x = ∫ x 2 t d t ,   x < 0 ; d = - 6
Calcule.j) a r c   s e n - 3 2
Calculec) cos ⁡ a r c   s e n - 3 2
Calculed) s ec ⁡ a r c   t g   1