Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Regras de Derivação II

Considere a função tangente:

( a ) Determine o maior intervalo contendo 17 π 4 tal que a função tangente restrita a este intervalo seja inversível;

( b ) Seja h a inversa da função mencionada no item a , determine uma expressão para h em função de a r c t g ;

( c ) Calcule h ' ( 1 ) .

Passo 1

a Vou começar aqui reproduzindo o gráfico da tangente para caso você não lembre/conheça:

Como você deve reparar, o gráfico fica limitado entre ] - π 2 , π 2 [ , ] π 2 , 3 π 2 [ , ] 3 π 2 , 5 π 2 [ , etc. Quer dizer, a função mantém um período de repetição. Em algum desses períodos nós temos o termo 17 π 4 limitado. Ora, a pergunta da questão era sobre um intervalo tal que a função tangente seja inversível! Para ser inversível a função deve ser contínua. Então devemos determinar o período entre o qual 17 π 4 está e esse será o nosso intervalo. No caso, temos que

7 π 2 < 17 π 4 < 9 π 2

Logo, o nosso intervalo seria nesse caso o ] 7 π 2 , 9 π 2 [ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Repara, ele tá mencionando uma função que trabalhamos no item a . Não é muito claro, mas ele quer que invertamos justamente a parte do gráfico que está no intervalo ] 7 π 2 , 9 π 2 [ .

Repara o seguinte, se fossemos inverter a parte da tangente do intervalo ] - π 2 , π 2 [ nós deveríamos escrever simplesmente que h y = arctg ⁡ y . Porém, estamos deslocados 4 π para frente, nesse intervalo (basta fazer 9 π 2 - π 2 = 7 π 2 - - π 2 = 4 π ). Enfim, a função que a questão pede será:

h y = arctg ⁡ y + 4 π

Passo 3

c Agora o cara espera que calculemos h ' 1 . Vamos derivar h y :

h ' y = arctg ⁡ y ' + 4 π '

= 1 1 + y 2

Substituindo y = 1 :

h ' 1 = 1 1 + 1 2

= 1 2

Resposta

a   ] 7 π 2 , 9 π 2 [

b   h y = arctg ⁡ y + 4 π

c   h ' 1 = 1 2

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