Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Seja: g x = x 5 + 3 x

Determine: g - 1 ' 4

Passo 1

Para tal, vamos usar o teorema da função inversa que diz:

g ' x = 1 g - 1 ' y

Então vamos achar a derivada g ' .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

g ' x = 5 x 4 + 3

Passo 3

Veja que o 4 de g - 1 ' 4

Não se refere a x = 4 , mas, como se trata da função inversa, y = 4 . Para substituir na g ' x e achar o valor numérico, temos que o valor de x tal que y = 4 .

4 = x 5 + 3 x ⟹ x 5 + 3 x - 4 = 0 ⟹ x = 1

Ou seja:

g ' 1 = 5 ⋅ 1 + 3 = 8

Passo 4

Voltando ao teorema da função inversa:

g ' x = 1 g - 1 ' y ⟹ g - 1 ' y = 1 g ' x ⟹ g - 1 ' 4 = 1 g ' 1

g - 1 ' 4 = 1 8

Resposta

g - 1 ' 4 = 1 8

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