Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

Regras de Derivação II

Seja g x = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x :

( a ) Determine o domínio de g ;

( b ) g é inversível? Se for, qual o domínio da inversa de g ?

( c ) Determine g - 1 ' ln ⁡ 3 .

Passo 1

a A única limitação para o domínio de g x é que os termos dentro do logaritmo devem ser positivos. Sendo assim:

x > 0   ; 2 + ln ⁡ x > 0

x > 0   ;   x > e - 2

A interseção entre x > 0 e x > e - 2 é x > e - 2 . Assim, o domínio da nossa função é:

D o m :   ] e - 2 , ∞ [

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Passo 2

b Vamos derivar a função g x :

g ' x = 2 + ln ⁡ x ' 2 + ln ⁡ x

= 1 x 2 + ln ⁡ x

Sabemos que, para x > e - 2 , g ' x será sempre positiva. Concluímos com isso que g é uma função estritamente crescente, o que nos garante que ela será injetora e inversível, portanto.

Para saber o domínio da inversa podemos analisar a imagem de g , já que serão iguais. Como temos que

lim x → e - 2 + ⁡ g x = - ∞   ;   lim x → ∞ ⁡ g x = ∞

Notamos que a imagem de g é o conjunto do números reais, bem como o domínio de sua inversa.

Passo 3

c Por definição, a derivada da inversa é dada por:

g - 1 ' ln ⁡ 3 = 1 g ' g - 1 ln ⁡ 3

Olha, como temos que g e = ln ⁡ 2 + ln ⁡ e = ln ⁡ 2 + 1 = ln ⁡ 3 , vemos que

g - 1 ln ⁡ 3 = e

Portanto, como já temos que g ' x = 1 x 2 + ln ⁡ x , ficamos com o seguinte:

g - 1 ' ln ⁡ 3 = 1 g ' e

= e 2 + ln ⁡ e

= e 2 + 1

= 3 e

Resposta

a   D o m :   ] e - 2 , ∞ [

b   S i m   ;   D o m í n i o   d e   g - 1 :   R

c   g - 1 ' ln ⁡ 3 = 3 e

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