Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

UFF - Cálculo IA - P2 Sérgio Almaraz 2014.2 – 2

Considere a função

f x = 1 + a x 3 s e   x 0 1 - x 2 - x 3 s e   x > 0

Onde a é uma constante.

a Mostre que f restrita a 0 , + possui uma inversa f - 1

b Determine f - 1 - 1

c Determine f - 1 ' - 1

d Determine um valor de a tal que f seja inversível em R

Passo 1

a Para sabermos se a função é inversível é só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de 0 . Para x > 0 , f x vale:

f x = 1 - x 2 - x 3

Nessa situação, a derivada vale:

f ' x = - 2 x - 3 x 2 = - x 2 + 3 x

Repara que a função tem derivada f ' x < 0 para todo x > 0 . Significa que ela é sempre decrescente nessa faixa do domínio. Com isso, ela sempre vai ser diferente de 0. Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

A função vai ser inversível para x 0 , + .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Para determinar f - 1 - 1 temos que procurar quando a função f x valerá

f x = - 1

Isso pode acontecer em duas regiões: x > 0 e x 0

1 - x 2 - x 3 = - 1           ;           1 + a x 3 = - 1

Não faz muito sentido olhar para esse segundo caso se não conhecemos o valor de a . Então vamos focar em achar um x que gere:

1 - x 2 - x 3 = - 1

Na malandragem, eu fui usando alguns valores de x bons de mexer, como 0 ,   1   e 2 . Como a função é decrescente em toda essa região, como vimos na letra a , se acharmos um x que satisfaça esse será o único valor possível para solucionar a questão.

Por tentativa, descobriremos x = 1 :

1 - 1 2 - 1 3 = - 1         1 - 1 - 1 = - 1

- 1 = - 1 O k !

Logo,

f - 1 - 1 = 1

Passo 3

c Pelo derivada da Inversa, teremos:

f - 1 ' - 1 = 1 f ' 1

Derivamos f x , fica assim:

f ' x = - 2 x - 3 x 2

Usando x = 1 ficará:

f ' 1 = - 2 1 - 3 1 2 = - 2 - 3

= - 5

Logo,

f - 1 ' - 1 = 1 - 5 = - 1 5

Passo 4

d Para a função ser inversível para todo real, ela deve ser inversível nos seus dois domínios: para x 0 e para x > 0 . Já provamos na a que isso vale para x > 0 . Vamos olhar o outro domínio.

A função aqui é

f x = 1 + a x 3

Para que f x seja inversível em todo o domínio precisamos ter f ' x 0 . Nessa região a derivada é dada por:

f ' x = 3 a x 2

Rapaz, repara, posso chutar qualquer valor de a ali nesse cara, mas eu vou ter sempre essa derivada zerando em 0 . No resto domínio, ela manterá o mesmo sinal de a , sempre para x < 0 .

Agora, em x = 0 supondo algum valor de a que faça da função contínua, poderíamos fazer as derivadas laterais e igualá-las:

- x 2 + 3 x = 3 a x 2

Não importa o lado, em x = 0 ambas zeram.

Enfim, a conclusão é que nenhum a satisfaz isso!

Resposta

a   ( d e m o n s t r a ç ã o   n o   P a s s o   1 )

b   f - 1 - 1 = 1

c f - 1 ' - 1 = - 1 5

d   n e n h u m   v a l o r   d e   a

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