Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Enunciado

Seja f a função definida por f x = sen ⁡ ( x 2 ) mostre que a função f é inversível no intervalo 0 ,   π 2

Passo 1

Para uma função f ser inversível ela deve ser bijetora, e para isso é suficiente que a função seja estritamente crescente ou estritamente decrescente em seu domínio. Note que

s e   x ∈ 0 ,   π 2 e n t ã o   x ² ∈ 0 ,   π 2

Queremos determinar se a função é estritamente crescente ou decrescente nesse intervalo. Logo, temos que analisar o sinal da derivada.

f ' x = 2 x cos ⁡ ( x 2 )

Sabemos que se x ∈ 0 ,   π 2 então 2 x ≥ 0 e cos ⁡ ( x 2 ) ≥ 0 , logo f ' x ≥ 0 . Já que a função se mantém positiva nesse intervalo, ela é estritamente crescente nele, logo é inversível.

Resposta

É invertível em 0 ,   π 2

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f x = ∫ x 2 t d t ,x0 ; d = - 6
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Calculec) cos ⁡ a r cs e n - 3 2
Calculed) s ec ⁡ a r ct g1
Calcule.d) a r ct g1