Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.2 – 3

Seja f x = x 2 - 2 x para x < 1

a A função f é inversível?

b Determine uma expressão pra a função f - 1 , a inversa de f

c Calcule a derivada de f - 1 em y = 7

Passo 1

a Para sabermos se a função é inversível vamos usar o Teorema da Função Inversa.

É só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de 0

f ' x = 2 x - 2

E vamos ter que essa derivada só vai ser 0 em

2 x - 2 = 0

2 x = 2

x = 1

Como esse valor não está incluído no domínio (pois ele diz que x < 1 ) ela sempre vai ser diferente de 0 . Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o x com o y e achar o novo y , assim

Nos temos

y = x 2 - 2 x

Vamos isolar o x

Devemos fazer alguma coisa para chegar em x sozinho. Vamos fazer um negócio chamado completar quadrado. Concorda que:

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

certo? Então, se eu somar um de cada lado, fica assim:

y + 1 = x 2 - 2 x + 1

Vamos ter com isso

y + 1 = x - 1 2

x - 1 = ± y + 1

x = 1 ± y + 1

Como ele disse que x < 1 devemos ter esse cara com sinal de na raiz, já que a raiz gera um termo positivo e 1 - C , onde C é positivo, será menor que 1

x = 1 - y + 1

Essa é a nossa função inversa

f - 1 y = 1 - y + 1

Podemos mudar agora esse y por x na resposta final, só para deixar bonitinho com uma função inversa de x

f - 1 x = 1 - x + 1

Passo 3

c Vamos aplicar o teorema da função inversa

f ' x = 1 f - 1 ' y

Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de f x

f - 1 ' y = 1 f ' x

Ele quer f - 1 ' 7 isso nos diz que y = 7 vamos achar o valor de x para isso

y = x 2 - 2 x

7 = x 2 - 2 x

x 2 - 2 x - 7 = 0

Usamos Bhaskara:

x = - - 2 ± - 2 2 - 4 1 - 7 2.1 = 2 ± 4 + 28 2 = 2 ± 32 2 = 2 ± 4 2 2 = 1 ± 2 2

Como o valor de x < 1 , vamos ter x = 1 - 2 2

Passo 4

Agora que sabemos o valor de x podemos aplicar o teorema da função inversa

f - 1 ' y = 1 f ' x

Vamos ter

f - 1 ' 7 = 1 f ' 1 - 2 2

A derivada de 1 - 2 2 vai ser

f ' x = 2 x - 2

f ' 1 - 2 2 = 2 1 - 2 2 - 2 = 2 - 4 2 - 2 = - 4 2

f - 1 ' 7 = 1 - 4 2

Resposta

a   a   f u n ç ã o   é   i n v e r s í v e l

b   f - 1 x = 1 - x + 1

c   f - 1 ' 7 = 1 - 4 2

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