Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

UFF - Cálculo IA - P2 Humberto 2014.2 – 2

Sejam f , g e h funções reais de classe C , com g uma função inversível e

f x = g - 1 x cosh h x

a Calcule f ' em termos de g , g - 1 , h , g ' e h ' . Justifique sua resposta.

b Calcule f ' 0 sabendo que g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 . Justifique sua resposta.

Passo 1

a Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

Aqui vamos usar algumas regras de derivação, primeiro a regra do quociente

f ' x = g - 1 x ' . cosh h x - g - 1 x . cosh h x ' cosh h x 2

Precisamos achar essas derivadas

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar por

g - 1 x '

Bom, temos que sua derivada será dada por:

g ' y = 1 g - 1 x '

Se y = g - 1 x

Logo, teremos

g - 1 x ' = 1 g ' y

Passo 3

Vamos para

cosh h x '

Usamos a Regra da Cadeia para chegar nisso:

cosh h x ' = senh h x . h ' x

Passo 4

Recaptulando, temos

f ' x = g - 1 x ' . cosh h x - g - 1 x . cosh h x ' cosh h x 2

E acabamos de calcular

g - 1 x ' = 1 g ' y

cosh h x ' = senh h x . h ' x

Substituindo isso na equação que está ali no inicio desse passo

f ' x = 1 g ' g - 1 x . cosh h x - g - 1 x . senh h x . h ' x cosh h x 2

Passo 5

( b ) Ele quer a derivada em um ponto, no caso x = 0

Vamos pegar a fórmula que achamos no fim do passo 4 e trocar x por 0 .

f ' 0 = 1 g ' g - 1 0 . cosh h 0 - g - 1 0 . senh h 0 . h ' 0 cosh h 0 2

Usando os dados do enunciado, temos g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 .

Do g 3 = 0 , concluímos que g - 1 0 = 3 .

Temos também a situação que:

Sabemos também que

cosh 0 = e 0 + e - 0 2 = 1

senh 0 = e 0 - e - 0 2 = 0

Passo 6

Substituindo isso tudo, teremos:

f ' 0 = 1 g ' g - 1 0 . cosh 0 - g - 1 0 . senh h 0 . h ' 0 cosh h 0 2

= 1 g ' 3 . cosh 0 - g - 1 0 . senh 0 . 7 cosh 0 2

= 1 5 . 1 - 3 . 0 . 7 1 2

= 1 5

Resposta

( a )       f ' x = 1 g ' g - 1 x . cosh h x - g - 1 x . senh h x . h ' x cosh h x 2

b         f ' 0 = 1 5

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