Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 4, P2 - 2019.1, Questão 4

Questão 4: Encontre todos os valores de λ R , e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno (para L > 0 ):

y ' ' + λ y = 0

y 0 = 0 d y d x L = 0

Passo 1

Vamos começar então resolvendo essa EDO de segunda ordem...

y ' ' + λ y = 0

Por equação característica:

b 2 + λ = 0        

      b 1 = - λ b 2 = - - λ

Agora vamos analisar cada caso dependendo do valor de λ que no caso é desconhecido (até o momento ;).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

1º - Caso λ < 0 :

Caso isso aconteça,

      b 1 = - λ b 2 = - - λ

São valores reais e diferentes entre si e, portanto, a solução será:

y = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Aplicando a primeira condição de contorno de que...

y 0 = 0                   y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = 0  

c 1 = - c 2

Para a segunda y ' L = 0 , como estamos falando de derivada, precisamos derivar rapidinho a solução:

y ' = - λ c 1 e - λ x - - λ c 2 e - - λ x    

Substituindo agora...

y ' L = 0                       y ' L = c 1 - λ e - λ π - c 2 - λ e - - λ π = 0    

- c 2 - λ e - λ π - c 2 - λ e - - λ π = 0           c 2 - - λ e - λ π - - λ e - - λ π = 0      

Pow, como esse termo dos parênteses não é 0 ...

c 2 = 0

c 1 = 0

Logo

y x = 0

Essa é uma solução trivial e que não queremos! Então analisemos o outro caso...

Passo 3

2º - Caso λ = 0 :

Nesse caso, a solução da equação característica será:

      b 1 = - λ b 2 = - - λ    

b 1 = b 2 = b = 0

Nesse caso, o modelo de resposta para a EDO é assim:

y x = c 1 e b x + c 2 x e - b x  

y x = c 1 e 0 + c 2 x e 0            

y x = c 1 + c 2 x

Substituindo a primeira condição...

y 0 = 0                   y 0 = c 1 + c 2 0 = 0               c 1 = 0

Derivando e substituindo a segunda...

y = c 1 + c 2 x                   y ' x = c 2

y ' L = 0                           y ' L = c 2 = 0

Novamente ganhamos a solução trivial:

y = 0

Mas não desista pois ainda temos mais um caso para analisar!

Passo 4

3º - Caso λ > 0 :

Nesse caso, teremos uma solução imaginária para a Equação característica...

b 2 + λ = 0               b 1 = - λ b 2 = - - λ        

b = ± i λ

E, portanto, o modelo de solução da EDO é assim:

y = c 1 sin λ x + c 2 cos λ x  

Substituindo a primeira condição...

y 0 = 0                         y 0 = c 1 sin 0 + c 2 cos 0 = 0    

c 2 = 0

Derivando e substituindo a segunda...

y ' = c 1 λ cos λ x - c 2 λ sin λ x =

c 1 λ cos λ x

y ' L = 0                               y ' L = c 1 λ cos λ L = 0      

Como não queremos a solução trivial novamente, precisamos que...

c 1 0      

Logo...

cos λ L = 0      

Ora, quando esse cosseno zera? Quando...

λ L = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,

Ou seja...

λ L = 2 n - 1 π 2 ,             n 1 ,   2 ,   3 ,   o u

Logo, os autovalores são...

λ n = 2 n - 1 2 4 L 2 π 2 ,               n N

Para as autofunções, basta substituir aqui os valores de c 2 e de λ :

y x = c 1 sin λ x + c 2 cos λ x

y x = c 1 sin 2 n - 1 π 2 L x

Para as autofunções, a gente pode desconsiderar o c 1 , então...

y x n = sin 2 n - 1 π 2 L x   ,               n N

Resposta

λ n = 2 n - 1 2 4 L 2 π 2 ,               n N

y x n = sin 2 n - 1 π 2 L x   ,               n N

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