Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2019.1, Questão 5

Seja b > 0 uma constante. Se y = y ( x ) é uma solução não nula da equação d 2 y d x 2 - b d y d x + y = 0 , então lim x - y x :

  1. Não existe e tende a +
  2. Existe e vale π
  3. Não há dados suficientes para calcular
  4. Não existe e tende a -
  5. Existe e vale 0

Passo 1

Vamos olhar essa EDO com carinho, ela é a mesma coisa que y ' ' - b y + y = 0 . É uma EDO de segunda ordem da qual a gente consegue achar a solução y ( x ) para todos os casos de Δ da equação característica. Por isso a gente consegue calcular depois lim x y x .

O problema é que precisaremos fazer esse limite para todos os casos de delta, porque não sabemos o valor de b .  

Então o que a gente vai fazer é achar y x para cada caso e calcular o limite para ver no que dá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação característica dessa EDO fica assim:

y ' ' - b y + y = 0

r 2 - b r + 1 = 0

Achando as raízes da equação por bhaskara:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = b 2 - 4

r = b ± b 2 - 4 2

Passo 3

Agora a gente precisa achar y ( x ) para o caso Δ > 0 :

Sabendo que:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Sendo: r 1 = b + b 2 - 4 2 ,   r 2 = b - b 2 - 4 2

Ficamos com:

y x = c 1 e b + b 2 - 4 2 x + c 2 e b - b 2 - 4 2 x

Passo 4

Agora fazemos lim x - y x , com muita coragem e atenção:

lim x - c 1 e b + b 2 - 4 2 x + c 2 e b - b 2 - 4 2 x

Vamos olhar com calma para esses expoentes. Momento de muita atenção. Lembra que: Δ = b 2 - 4 e esse y ( x ) é para o caso de Δ > 0 . Logo:

b 2 - 4 > 0

Com isso a gente já percebe que esse coeficiente b + b 2 - 4 2 é positivo, porque é uma soma de dois termos positivos ( b > 0 , pelo enunciado).

Vamos analisar o outro expoente:

b - b 2 - 4 2

Já sabemos que b > 0   é positivo, mas será que ele é maior que b 2 - 4 ?

É sim! Concorda comigo que b = b 2 . Se eu diminuo esse b 2 de algum valor, como 4 , vamos ter que b = b 2 > b 2 - 4 b > b 2 - 4 . Então esse expoente também é positivo.

Ficamos então com:

lim x - c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x ,     r 1 > 0 ,     r 2 > 0

Sabendo que e - 0 :

l i m x - y x = lim x - c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x = c 1 0 + c 2 0 = 0 ,     Δ > 0

Passo 5

Vamos para o caso Δ = 0 .

Para essa situação, y x = c 1 x e r x +   c 2 e r x

r = b ± Δ 2 = b ± 0 2 = b 2

Então,

y x = c 1 x e b 2 x +   c 2 e b 2 x

Passo 6

Calculando o limite:

l i m x - y x =   l i m x - c 1 x e b 2 x +   c 2 e b 2 x

Vamos calcular o limite de cada termo da soma separadamente. Como b 2 = r > 0 :

l i m x - c 1 x e b 2 x = l i m x - c 1 x e r x

l i m x - c 1 x e - r x = -

Calma, vamos usar L’Hospital:

l i m x - c 1 x e - r x   L ' H l i m x - c 1 1 - r e - r x = 0  

Ufa! Conseguimos. Vamos para o outro termo:

l i m x -   c 2 e r x = 0

Se os termos zeraram,

l i m x - y x =   l i m x - c 1 x e b 2 x +   c 2 e b 2 x = 0 ,     Δ = 0

Passo 7

Para finalizar, vamos olhar o caso Δ < 0 . Para isso:

y x = e α x ( c 1 cos β x + c 2 sen β x )

Sendo:

α = - b 2 a = - ( - b ) 2 1 = b 2

β = - Δ 2 a = - ( b 2 - 4 ) 2

Passo 8

A gente precisa calcular: l i m x - e α x ( c 1 cos β x + c 2 sen β x )

Como cosseno e seno são funções limitadas, a gente pode tentar calcular l i m x - e α x primeiro.

Sabemos que α = b 2 > 0 , então:

l i m x - e α x = 0

Voltando para o limite inicial:

l i m x - e α x c 1 cos β x + c 2 sen β x = l i m x - 0 c 1 cos β x + c 2 sen β x F u n ç ã o   L i m i t a d a = 0

Pelo teorema do anulamento.

Então, nossa alternativa certa é a letra e.

Resposta

Letra e

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