Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.11. questão 1, itens a,c,f.

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:

a) x = - 1 + t , y = 2 - t , t ∈ R

c) x = c o s ² t , y = s e n ² t , t ∈ R

f) x = s e n   t , y = c o s 2 t , t ∈ 0 , π 2

Passo 1

a )

Podemos isolar o parâmetro t na primeira equação e substituir na segunda, assim:

t = x + 1

y = 2 - x + 1 = 2 - x - 1 = 1 - x

Temos a reta y = 1 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Verificar intervalo para a curva da letra a:

t ∈ R

x = - 1 + t não tem nenhuma limitação. Assim, x ∈ R .

Passo 3

Avaliar o sentido percorrido na curva da letra a: nós temos que ver se a derivada vai ser positiva ou negativa. Positiva, a função está crescendo. Negativa, a função está decrescendo.

Podemos observar que

y ' t = - 1 < 0

Logo, a curva está “descendo”.

Passo 4

Esboçar a curva da letra a:

Como t é real, ele varia de - ∞ a + ∞ e, nesse caso, nossa reta não tem nenhuma limitação. Quando t = 0 , a curva passa pelo ponto - 1,2 que eu marquei ai.

Passo 5

c )

Na letra c, vamos usar a relação fundamental da trigonometria

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Assim, observamos que

x + y = 1

Logo, também temos a reta y = 1 - x .

Passo 6

Verificar o intervalo para a curva da letra c:

t ∈ R

x = c o s ² t é uma função limitada, está sempre entre 0 e 1. Assim, x ∈ [ 0,1 ] e y ∈ [ 0,1 ] .

Passo 7

Avaliar o sentido percorrido pela curva da letra c:

Podemos observar que

y ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Mas

0 ≤ x t = c o s 2 t ≤ 1

0 ≤ y t = s e n 2 t ≤ 1

Logo

t ∈ 0 , π 2

E nesse intervalo, tanto o seno como o cosseno são positivos, então

y ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t > 0

Como o ponto inicial, ou seja, em t = 0 vai ser

x 0 , y 0 = c o s 2 0 , s e n 2 0 = 1,0

A curva começa em 1,0 e o valor de y vai aumentar.

Então ela está “subindo”.

Passo 8

Esboçar a curva da letra c

Passo 9

Na letra f pelo enunciado temos

y = cos ⁡ 2 t

E ele deu que

x = sen ⁡ t

Então queremos achar uma relação de cos ⁡ 2 t e sen ⁡ t

2 c o s 2 t - 1 = 2 1 - s e n 2 t - 1

Lembrando das relações trigonométricas

c o s 2 t = 2 c o s 2 t - 1

E

c o s 2 t = 1 - s e n 2 t

Podemos usá-las para achar a função de x e y

y = cos ⁡ 2 t = 2 c o s 2 t - 1 = 2 1 - s e n 2 t - 1

Mas

x = sen ⁡ t

Então

y = 2 1 - s e n 2 t - 1 = 2 1 - x 2 - 1

y = 2 - 2 x 2 - 1 = 1 - 2 x ²

Temos a parábola

y = 1 - 2 x ²

Passo 10

Avaliar o intervalo para a curva da letra f:

t ∈ 0 , π 2

Vamos começar olhando o valor de x

x = sen ⁡ t

O seno indo de 0 a π 2 , nos diz que o valor de x vai de 0 à 1 .

Assim,

x ∈ [ 0,1 ]

Passo 11

Vamos olhar o y agora

y = cos ⁡ 2 t

Se

t ∈ 0 , π 2

Então

2 t ∈ 0 , π

Isso nós diz que o y vai de - 1 à 1

y ∈ [ - 1,1 ]

Passo 12

A nossa curva vai ser

Passo 13

Vamos avaliar como varia essa função.

y ' t = - 2 sen ⁡ 2 t

Como

t ∈ 0 , π 2

Então

2 t ∈ 0 , π

Isso nós diz que

sen ⁡ 2 t > 0

Assim

y ' t = - 2 sen ⁡ 2 t < 0

E o valor de y vai estar diminuindo.

A curva vai começar em

x 0 , y 0 = sen ⁡ 0 , cos ⁡ 2.0 = 0,1

Então ela está “descendo”

Resposta

a)

c)

f)

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