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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

onde t ≥ 0 .

Mostre que a curva C está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva C .

Passo 1

Oi, tá bem? Esse tipo de exercício tem um passo a passo, aí só seguir que dá bom. A gente precisa identificar que essa curva está dentro da equação de uma quádrica, e qual quádrica é.

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t

Dessa equação, a gente tira que

x = e t cos ⁡ 3 t ,     y = e t sen ⁡ 3 t ,     z = e 2 t

Como a gente tem termos parecidos no x e no y , um com cosseno e outro com seno, a gente pode começar tentando calcular x 2 + y 2 , assim:

x 2 + y 2 = e t cos ⁡ 3 t 2 + e t sen ⁡ 3 t 2 = e 2 t cos 2 ⁡ 3 t + e 2 t sen 2 ⁡ 3 t

Repara que a gente usou a propriedade de potência ali em e t 2 = e 2 t . Seguindo:

x 2 + y 2 = e 2 t cos 2 ⁡ 3 t + sen 2 ⁡ 3 t

Aí a gente lembra da identidade trigonométrica que diz s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 . E que z = e 2 t . Aí nossa continha fica:

x 2 + y 2 = e 2 t

x 2 + y 2 = z

E isso é a equação de um paraboloide elíptico virado para cima, pois temos dois termos positivos quadráticos de um lado, e um termo elevado a 1 do outro.

Passo 2

Agora a gente usa a informação de nossa curva dá dentro desse paraboloide. Ele tem essa equação:

x 2 + y 2 = z

Por isso, o mínimo dele vai estar em 0,0 , 0 , e o gráfico dele é:

Nossa curva está dentro dele. Mas repara que o enunciado diz que t ≥ 0 , e o nosso z é

z = e 2 t

Isso significa que o z só vai assumir valores positivos. E se a gente derivar esse z :

z ' = 2 e 2 t

Vemos que a taxa de variação dele é positiva, o que diz para gente que nossa curva vai estar subindo em relação ao eixo z . Como é uma função exponencial, ela vai crescer bem rápido, tá?

Passo 3

Só falta a gente achar o ponto inicial dessa curva:

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

Como t ≥ 0 , ela começa em t = 0 :

r 0 = 1 ,   0 ,   1  

Ou seja, ela sai do ponto 1,0 , 1 . Vimos também que ela está subindo, e como temos o seno no y e o cosseno no x , em relação ao plano x y , ela vai se mover em uma circunferência no sentido anti-horário.

Aí desenhando a curva com essas características, a gente acha:

Repara que a gente desenhou um fim ali para ela, mas na real ela vai para t → ∞ , porque ela está definida em t ≥ 0 . Então ela vai subindo indefinidamente.

Arrasamos!

Resposta

x 2 + y 2 = z , paraboloide

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