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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

Esboce a imagem de γ t = sin ⁡ t , cos 2 ⁡ t + 2 ,   t ∈ R .

Passo 1

Mais direta que isso a questão não poderia ser... essa não dá nem pra enrolar rs

Então partiu analisar o que temos! Veja só, a coordenada x vale sin ⁡ t   e a y vale cos 2 ⁡ t + 2 . Daí tiramos que x está entre - 1 e 1 , enquanto y está entre 2 e 3 , show? Basta colocar os maiores e menores valor possíveis para as funções seno e cosseno!

E agora? Bom, já que tem esse cosseno ao quadrado, o mais instintivo é manipular essas trigonométricas e chegar em sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ! Como x é seno, e cos 2 ⁡ t = y - 2 , pois y = cos 2 ⁡ t + 2 ,

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Substituindo,

x 2 + y - 2 = 1

y = 3 - x 2

E aí está a equação cartesiana da nossa curva :D

Passo 2

Bom, agora que tiramos as trigonométricas ao quadrado da história, parece que ficou um pouco mais simples de esboçar, não? Veja só, chegamos numa parábola! Como é o x que está ao quadrado, e seu coeficiente é negativo, então ela tem a boca virada para baixo! Como temos esse 3 somado do lado direito da equação, então ela está deslocada em 3 no sentido positivo de y . Como o x é sin ⁡ t e está entre - 1 e 1 , nosso gráfico fica assim:

Viu o pico dela ali em y = 3 ? E pronto, está aí :)

Resposta

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