Considere a área da região de intersecção às curvas r = 2 s e n θ e r 2 = s e n ( 2 θ ) .

Parte I) Esboce a região

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essas duas curvas aqui em coordenadas polares

r = 2 s e n θ ;   r 2 = s e n ( 2 θ )

E pediu não só para esboçar a região de intersecção, mas também calcular a área da região esboçada. Como a resolução ficaria pouco longa vamos fazer assim: dividir em duas partes. Nessa primeira parte vamos fazer apenas o esboço. Na parte (ii) será calculada a área dessa região. Ok?

#partiu fazer o esboço!

Mas como fazer isso?

Quando temos curvas em polares e queremos achar a região, precisamos saber qual é essa intersecção, não é verdade?

Então vamos começar juntando as duas equações

r 2 = s e n ( 2 θ )

Mas r = 2 s e n θ , daí

2 s e n θ 2 = s e n ( 2 θ )

Mas s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

2 s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

Assim temos que

s e n θ = c o s θ

E isso acontece quando θ = π 4 . O ponto onde as curvas se encontram é esse! Mas tem mais um né! Vamos olhar para as curvas originais

r = 2 s e n θ ;   r 2 = s e n ( 2 θ )

Quando θ = π ou θ = 0 ambas resultam em r = 0 , então temos nosso limite de integração!

0 < θ < π 4

  π 4 < θ < π

E isso vai ser encontrado naturalmente no gráfico!

A ideia daqui para frente é esboçar cada uma e depois agrupar os resultados!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando com r = 2 s e n θ . Sabemos que em coordenadas polares isso representa um círculo deslocado em y , com raio 2 / 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos para o esboço da outra equação

r 2 = s e n ( 2 θ )

Essa é uma equação de uma Lemniscata, e como ela vai com o seno e seu coeficiente é positivo, é na diagonal que corta os quadrantes ímpares

Tudo bem até aqui? Nosso próximo passo é juntar essas duas figuras!

Passo 4

Sabemos que elas se cruzam em θ = π / 4 e em θ = π , então as duas juntas ficam assim:

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n 4 theta
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2s e nθ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a