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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

Esboce a imagem da curva γ   : R → R 2 dada por

γ t = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 , sen 2 ⁡ t - 1

Passo 1

Numa parametrização, cada coordenada corresponde a uma dimensão da função no plano cartesiano. A primeira coordenada corresponde à componente x , a segunda à componente y , a terceira à z e assim por diante.

Então, podemos dizer que, a para a curva dada:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 y = sen 2 ⁡ t - 1

Passo 2

Na equação de cima, podemos colocar o 2 em evidência no lado direito, e teremos:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 1

Mas cos 2 ⁡ t - 1 = - sen 2 ⁡ t . Então, teremos que:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t

E ainda temos como simplificar isso! Perceba, quando tivermos algo ao quadrado, e do lado duas vezes esse algo, podemos completar quadrados somando e subtraindo o mesmo número. Fica assim:

x = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 1 - 1

E perceba que o termos entre parêntesis vale sen 2 ⁡ t - 1 2 :

x = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 1 - 1 = sen 2 ⁡ t - 1 2 - 1

E, por fim, sabemos que y = sen 2 ⁡ t - 1 . Assim, temos que:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 2 ⁡ t - 1 2 - 1 = y 2 - 1

Ou seja, a parte de cima do sistema é y 2 - 1 , e ele fica:

x = y 2 - 1 y = sen 2 ⁡ t - 1

Passo 3

Legal, agora que temos o x em função do y , sabemos que a parametrização   γ t está sobre a parábola x = y 2 - 1 .

Mas e quanto ao y ? Ele está em função de sen 2 ⁡ t , e essa é uma função limitada (ela nunca é menor que 0 e nem maior que 1 ). Então, a expressão para o y , dada por:

y = sen 2 ⁡ t - 1

sempre vai estar entre - 1 e 0 , pois, como disse, sen 2 ⁡ t está entre 0 e 1 (basta subtrair 1 do maior e menor valor assumido por sen 2 ⁡ t )

Passo 4

Pronto!! Agora sabemos que x = y 2 - 1 , e que y varia entre - 1 e 0 . Logo, a imagem da nossa curva parametrizada é o pedaço da parábola x = y 2 - 1 no qual os valores de y estão entre - 1 e 0 !

A parábola deitada é x = y 2 - 1 e a faixa são os valores de y . A interseção desses dois lugares, é parte da parábola que está dentro da faixa!

Resposta

Parte da parábola dentro da faixa:

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