Suponha que seja conhecido o gráfico de uma função f . Em cada item, descreva como obter o gráfico da função g a partir do gráfico da função f .

a) g x = f x - 5

b) g x = f ( x - 5 )

c) g x = f ( x + 7 )

d) g x = f x + 7

e) g x = - f ( x )

f) g x = f ( - x )

g) g x = - 2 f ( x )

h) g x = - 1 2 f ( x )

i) g x = - f x + 5

j) g x = 3 f x - 5

k) g x = f x - 4 + 3 4

l) g x = f x + 4 - 3 4

m) g x = 2 f x + 1 - 3

n) g x = 3 - 2 f ( x )

o) g x = f ( 4 x )

p) g x = f 1 4 x

q) g x = 2 f 1 2 x

r) g x = f ( x )

s) g x = f ( x )

t) g x = f ( x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função supostamente conhecida f ( x ) e quer saber como a gente obteria o gráfico de g ( x ) a partir dela. Repare que nós temos constantes sendo adicionadas, multiplicadas ou subtraídas dentro ou fora do argumento da função. Quando isso acontece, existem algumas propriedades que nos ajudam a reconhecer quando o gráfico é expandido, contraído ou deslocado. Olha só:

Então, vamos identificar onde temos deslocamentos horizontais e verticais e onde temos reflexões e expansões no gráfico da função g a partir de f .

Vamos lá!

Passo 2

Na letra a), temos g x = f x - 5 . Como temos c = 5 sendo subtraído da função f ( x ) , temos g x = f x - c . Então, o gráfico de f será deslocado em 5 unidades para baixo (por causa do sinal negativo) para obter o gráfico de g .

Passo 3

Na letra b), temos b) g x = f ( x - 5 ) . Repare que agora 5 está sendo subtraído dentro do argumento da função, então a gente tem um deslocamento horizontal. Como o sinal é negativo, a gente desloca o gráfico de f em 5 unidades para direita para obter o gráfico de g .

Passo 4

Na letra c), temos g x = f ( x + 7 ) . A gente tá mexendo no argumento da função, então nosso deslocamento é horizontal. Como a gente tem 7 sendo somado no argumento da função, vamos deslocar o gráfico de f em 7 unidades para esquerda para obter o gráfico de g .

Passo 5

Na letra d), temos g x = f x + 7 . Agora temos 7 sendo somado a função f ( x ) , então nós temos um deslocamento vertical. Como 7 é positivo, nosso gráfico f se desloca em 7 unidades para cima.

Passo 6

Na letra e), temos g x = - f ( x ) . Repare que a gente tá multiplicando f ( x ) por - 1 , quando isso acontece temos o gráfico de f sendo refletido em torno do eixo x , porque o ponto ( x ,   y ) é substituído pelo ponto ( x ,   - y ) .

Passo 7

Na letra f), temos g x = f ( - x ) . Repare que agora o argumento da função se tornou negativo, então temos o ponto ( x ,   y ) sendo substituído pelo ponto ( - x ,   y ) , e portanto, nossa função f é refletida em torno do eixo y para obter o gráfico de g .

Passo 8

Na letra g), temos g x = - 2 f ( x ) . Como a gente tá multiplicando o gráfico de f por um fator c , nós temos uma expansão vertical desse gráfico. Como c = - 2 , nosso gráfico se expande verticalmente para baixo por um fator - 2 .

Passo 9

Na letra h), temos g x = - 1 2 f ( x ) . Nós estamos dividindo f por - 2 , então nosso gráfico f também está sendo comprimido na direção vertical por um fator - 2 para obter o gráfico de g .

Passo 10

Na letra i), temos g x = - f x + 5 . Agora repare que nós temos duas transformações, f ( x ) passa a ser negativo, então ele é refletido em torno do eixo x e, em seguida, somamos 5 ao gráfico. Então cada coordenada y fica acrescida de 5 unidades e temos um deslocamento de f em 5 unidades para cima para obter o gráfico de g .

Passo 11

Na letra j), temos g x = 3 f x - 5 . Nosso gráfico agora tá sendo multiplicado por um fator 3 , então temos uma expansão vertical por um fator 3 . E, em seguida, nós subtraímos 5 à função, então deslocamos f em 5 unidades para baixo.

Passo 12

Na letra k), temos g x = f x - 4 + 3 4 . Agora temos um deslocamento horizontal, porque estamos mexendo no argumento da função, e ela se desloca 4 unidades para direita. Em seguida, somamos 3 4 , então temos um deslocamento vertical em 3 4 unidades para cima.

Passo 13

Na letra l), temos g x = f x + 4 - 3 4 . É bem parecido com o item anterior, só que os sinais mudam, então nós deslocamos f em 4 unidades para esquerda. Em seguida, deslocamos f verticalmente em 3 4 unidades para baixo.

Passo 14

Na letra m), temos g x = 2 f x + 1 - 3 . Nossa função agora tá sendo multiplicada por um fator 2 , então temos uma expansão vertical por um fator 2 . Em seguida, mexemos no argumento da função, e deslocamos o gráfico horizontalmente em 1 unidade para esquerda. Por fim, subtraímos 3 da função, deslocando o gráfico em 3 unidades para baixo.

Passo 15

Na letra n), temos g x = 3 - 2 f ( x ) . Multiplicamos f por um fator - 2 , então nosso gráfico se expande verticalmente por um fator - 2 . Em seguida, somamos 3 , deslocando o gráfico de f em 3 unidades para cima.

Passo 16

Na letra o), temos g x = f ( 4 x ) . Nós agora multiplicamos o argumento da função por 4 . Então, a gente comprime horizontalmente o gráfico de f por um fator 4 para obter o gráfico de g .

Passo 17

Na letra p), temos g x = f 1 4 x . Agora nós estamos dividindo os valores de x por 4 , então nós expandimos horizontalmente o gráfico de f por um fator 4 para obter o gráfico de g .

Passo 18

Na letra q), temos g x = 2 f 1 2 x . Repare que a gente tá dividindo o argumento da função por 2 , então a função é expandida horizontalmente por um fator 2 . Em seguida, multiplicamos a função por 2 , e temos também uma expansão vertical por um fator 2 para obter o gráfico de g .

Passo 19

Na letra r), temos g x = f ( x ) . Então, a gente tem a função modular dentro do argumento. Dessa forma, pela definição de módulo nós temos a reta y = x quando x ≥ 0 e a reta y = - x quando x < 0 . Então, a parte de cima do gráfico permanece a mesma e a parte de baixo do gráfico é refletida em torno do eixo y (porque teríamos f ( - x ) embaixo e f ( x ) em cima).

Passo 20

Na letra s), temos g x = f ( x ) . Dessa forma, também pela definição de módulo, temos y = f ( x ) quando f x ≥ 0 e y = - f ( x ) quando f x < 0 . Sendo assim, a parte do gráfico que tá acima do eixo x permanece a mesma, enquanto a parte que tá abaixo do eixo x é refletida em torno do eixo x .

Passo 21

Na letra t), temos g x = f ( x ) . Que é a união dos dois itens anteriores. Nós temos o gráfico de quando x ≥ 0 , sendo y = f x = x , que permanece igual. E na parte de baixo quando x < 0 , temos y = - f ( - x ) , então nosso gráfico é refletido em torno do eixo y e, em seguida, refletido em torno do eixo x .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E x p l i c a ç ã o   n o s   p a s s o s

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9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n 4 theta
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2s e nθ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a