Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

USP, Cálculo 2, P1 - 2018, Questão ME3

Considere as seguintes afirmações:

  1. A imagem da curva γ 1 t = cos 2 t , sin 2 t ,   t R está contida em uma reta.
  2. A imagem da curva γ 2 t = e 2 t , e t ,   t R é uma parábola.
  3. A imagem da curva γ 3 t = e t + e - t ,   e t - e - t ,   t R está contida em uma hipérbole.

São corretas apenas as afirmações:

  1. I
  2. I I
  3. I I I
  4. I   e   I I I
  5. I I   e   I I I

Passo 1

A ideia nessa questão vai ser a gente descobrir as equações cartesianas que essas equações paramétricas representam.

Bora lá.

γ 1 t = cos 2 t , sin 2 t

x t = cos 2 t = 1 - 2 sin 2 t

De acordo com aquelas identidades trigonométricas doida lá que a gente aprende mas toda hora esquece mas toda hora alguma questão (tipo essa) lembra a gente que não deveríamos esquecer hahah

Com isso, podemos dizer que

x = 1 - 2 y

E isso é a equação cartesiana de uma reta.

A afirmativa I é verdade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A curva dois é a seguinte

γ 2 t = e 2 t , e t

Essa aí tá quaaaaase automático de ver que

x = y 2

Né?

Porque

e 2 t = e t 2

Beleza, agora a afirmativa II diz que a imagem da curva dois é a parábola INTEIRA. E não que ela está contida numa parábola. Será que isso é verdade?

Para isso ser verdade, todo x t , y t deveria retornar um ponto ( x , y ) em cima da parábola x = y 2 . Mas isso não é verdade pois x ( t ) e y ( t ) não são funções sobrejetoras.

Então essa afirmativa é falsa porque a curva dois não É a parábola, ela só está CONTIDA na parábola.

Passo 3

Agora a última curva

γ 3 t = e t + e - t ,   e t - e - t

É mais chatinha!!

Agora vamos ter que lembrar algo que tá mais lá no fundo da nossa memória ainda! Que são as funções trigonométricas hiperbólicas.

Se você fuçar muuuito, lá no fundo, achará (talvez) que

cosh t = e t + e - t 2

sinh t = e t - e - t 2

Assim, podemos dizer que

x t = 2 cosh t

y t = 2 sinh t

E isso, meus amigos, é a parametrização do ramo direito (onde x > 0 ) de uma hipérbole! Quer dizer que a afirmativa III também é verdadeira.

Resposta

L e t r a   d

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