Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2018.2, Questão E7

A curva C parametrizada por

r t = e t cos t , e t sen t , e t ,   t R

Está contida em

  1. Um cone com vértice no ponto ( 0,0 , 0 )
  2. Um plano
  3. Uma efera com centro no ponto ( 0,0 , 0 )
  4. Um paraboloide
  5. Um cilindro

Passo 1

Temos que descobrir a equação cartesiana que essa equação paramétrica representa. Ou seja, precisamos descobrir uma equação que relacione x ,   y ,   z a partir dessa equação onde x , y , z estão escritos em função do parâmetro t .

Vamos lá?

O que temos é

x t = e t cos t

y t = e t sen t

z t = e t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se observarmos com carinho, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = e t cos t 2 + e t sen t 2

x 2 t + y 2 ( t ) = ( e t ) 2

z ( t ) = e t

Logo:

x 2 t + y 2 ( t ) = z 2 ( t )

Então essa é curva está contida em um cone com vértice na origem.

Resposta

Letra ( a )

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