Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2009.2, Questão 3a

Dada a curva Γ definida por r t = e t cos t , e t sen t ,   e t ,   t 0 .

Esboce a curva Γ e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x t 2 + y t 2 = e 2 t

z t = e t > 0

z t 2 = e 2 t

x t 2 + y t 2 = z t 2

z t > 0

Logo, essa é uma helicoidal cônica somente na parte superior do cone.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Avalia z ' ( t ) :

Como z ' t = e t > 0 , então o sentido de crescimento do parâmetro t é para cima.

Passo 3

Verificar intervalo e ponto inicial:

t R

r 0 = 1,0 , 1

Passo 4

Esboçar curva:

Detalhe que na figura o gráfico tá começando na origem, mas o certo seria começar no ponto 1 ,   0 ,   1 , como vimos no Passo 3. O problema é que é difícil definir o ponto inicial no programa que a gente usa pra fazer gráfico no computador, por isso ficou assim.

Resposta

Observação: início no ponto 1 ,   0 ,   1 .

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