Exercícios Resolvidos de Interferência por Duas Fendas Pontuais

Origem do Exercício

Coloque F de falso ou V de verdadeiro nas afirmações abaixo e justifique ambas as opções.

  1. (     ) Não é nulo o rotacional do campo magnético resultante gerado no espaço entre as placas de um capacitor no vácuo, sendo carregado por uma bateria.
  2. (     ) É nulo o rotacional do campo elétrico E → em um ponto do espaço vazio onde existe uma onda eletromagnética.
  3. (     ) Uma onda eletromagnética circularmente polarizada incide sobre duas lâminas quarto de onda sucessivas. A onda eletromagnética que sai após a segunda lâmnia está circularmente polarizada.
  4. (     ) Se colocarmos o dispositivo de Young (originalmente no ar) imerso na água, as franjas brilhantes se tornarão mais distantes.

Passo 1

Letra a)

VERDADEIRO

Pela lei de Ampère-Maxwell, temos que:

∇ → × B → = μ 0 J → + μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t  

No espaço vazio, não há correntes elétricas e logo J → = 0 → . Porém, dentro de um capacitor sendo carregado, o campo elétrico vai variando com o tempo e por isso:

∂ E → ∂ t ≠ 0 →

Logo:

∇ → × B → = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t ≠ 0 →

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Passo 2

Letra b)

FALSO

Pela lei de Faraday-Lenz, o rotacional do campo elétrico é dado por:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Em um ponto do espaço vazio onde exista uma onda eletromagnética, o campo magnético está oscilando com a onda ao longo do tempo.

∂ B → ∂ t ≠ 0 →

Logo:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t ≠ 0 →

Passo 3

Letra c)

VERDADEIRO

Em uma lâmina quarto de onda, as componentes da onda circularmente polarizada sofrem uma defasagem de 1 / 4 do comprimento de onda λ , que correspondem a uma diferença de fase de ϕ = π / 2 .

Isso pode ser visto como uma regra de três. Quando temos uma diferença de fase de λ (um comprimento de onda), isso corresponde, em radianos, a ϕ = 2 π . Logo, dividindo tudo por quatro, temos λ 4 → ϕ = π 2 .

Como a luz era circularmente polarizada, as componentes tinham uma diferença de fase de ϕ = π / 2 , resultando numa diferença de fase de:

Δ ϕ = π 2 + π 2 = π

Δ ϕ = π corresponde a uma onda linearmente polarizada. Agora, ao passar pela segunda lâmina, a diferença de fase passa a ser:

Δ ϕ 2 = π + π 2 = 3 π 2 = 2 π - π 2

Ou seja, essa diferença de fase é equivalente a uma de π / 2 , ou em outros termos, a polarização volta a ser circular.

A onda que sai da segunda lâmina quarto de onda é circularmente polarizada.

Passo 4

Letra d)

FALSO

De acordo com o experimento de Young, temos as seguintes relações para as franjas claras:

d . sen ⁡ θ = m . λ → θ = m . λ d  

Onde d é a distância entre as franjas. Lembre-se que para ângulos pequenos, sin ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ ≈ θ

A distância entre um máximo e o centro y m , é dada por:

tan ⁡ θ ≈ θ = y m D

Onde D é a distância entre as fendas e o anteparo.

Igualando os dois valores de θ , temos:

y m D = m . λ d  

y m = D . m . λ d

Lembrando que o comprimento de onda depende do meio, pela relação:

λ n = λ n

Onde λ é o comprimento da luz no vácuo e λ n é o comprimento de onda da luz em um meio cujo índice de refração é n .

Ou seja, y m na água é dado por:

y m á g u a = D . m . λ n á g u a d

Enquanto que no ar, é:

y m a r = D . m . λ n a r d

Como temos que n á g u a > n a r , temos:

y m a r > y m á g u a

Desse modo, temos que as franjas ficarão mais próximas se o experimento for feito na água!

Resposta

Letra a) ( V )

Em um capacitor sendo carregado, E → varia com o tempo e pela lei de Ampère-Maxwell ∇ → × B → = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t ≠ 0 → ,

Letra b) ( F )

Em uma onda eletromagnética, B → varia com o tempo, e pela lei de Faraday Lenz ∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t ≠ 0 →

Letra c) ( V )

Δ ϕ 2 = 3 π 2 = 2 π - π 2 , que equivale uma diferença de fase de π / 2 , correspondente a uma polarização circular.

Letra d) ( F )

y m = D . m . λ n m e i o d

n á g u a > n a r →     y m , á g u a < y m ,   a r

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